Question

4．已知函數(shù)y=$\frac{1}{2}$log_a（a²x）•log_a（ax）（2≤x≤4）的最大值是0，最小值是-$\frac{1}{8}$，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 y=$\frac{1}{2}$log_a（a²x）•log_a（ax）=$\frac{1}{2}$（2+log_ax）•（1+log_ax），設t=log_ax，則y=$\frac{1}{2}$（2+t）（1+t）=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，由此利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行分類討論，能求出實數(shù)a的值．

解答 解：y=$\frac{1}{2}$log_a（a²x）•log_a（ax）=$\frac{1}{2}$（log_aa²+log_ax）•（log_aa+log_ax）=$\frac{1}{2}$（2+log_ax）•（1+log_ax），
設t=log_ax，則y=$\frac{1}{2}$（2+t）（1+t）=$\frac{1}{2}$（t²+3t+2）=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$
這個二次函數(shù)是頂點為（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{8}$），對稱軸為t=-$\frac{3}{2}$，開口向上的拋物線，
當-$\frac{1}{8}$≤y≤0時，解得-2≤t≤-1，
當y=0時，解得t₁=-1，t₂=-2，
x∈[2，4]時，y的取值范圍是[-$\frac{1}{8}$，0]，
①t=log_ax=-1，x=2，則a=$\frac{1}{2}$，
當t=log_a4=-2時，y=0，符合題意；
②t=log_ax=-1，x=4，則a=$\frac{1}{4}$，
當t=log_a2=-時，y＞0，不符合題意；
③t=log_ax=-2，x=2，則a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當t=log_a4=-4時，y＞0，不符合題意；
④t=log_ax=-2，x=4，則a=$\frac{1}{2}$，
當t=log_a2=-1時，y=0，符合題意．
綜上，實數(shù)a的值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查實數(shù)a的值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論思想的合理運用．