20．設(shè)x為實(shí)數(shù)，求證：（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒

分析 利用作差法得出右-左=2x4-2x3-2x+2，只需證明恒大于等于零即可．

解答 證明：右-左=2x4-2x3-2x+2
=2（x-1）（x3-1）=2（x-1）2（x2+x+1）
=$2{（x-1）^2}[{{{（{x+\frac{1}{2}}）}^2}+\frac{3}{4}}]≥0$，
所以（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒

點(diǎn)評 考查了不等式證明中的作差法的應(yīng)用和因式分解．屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

10．一個(gè)口袋中裝有大小和形狀完全相同的2個(gè)紅球和2個(gè)白球，從這個(gè)口袋中任取2個(gè)球，則取得的兩個(gè)球中恰有一個(gè)紅球的概率是（　�。�
A．$\frac{1}{6}$B．$\frac{1}{3}$C．$\frac{1}{2}$D．$\frac{2}{3}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

11．存在正數(shù)m，使得方程$\sqrt{3}$sinx-cosx=m的正根從小到大排成一個(gè)等差數(shù)列．若點(diǎn)A（1，m）在直線ax+by-2=0（a＞0，b＞0）上，則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值為$\frac{9}{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

8．甲、乙兩盒中各有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球和1個(gè)白球，現(xiàn)從兩盒中隨機(jī)各取一個(gè)球，則至少有一個(gè)紅球的概率為$\frac{8}{9}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，長軸長為4，過橢圓的左頂點(diǎn)A作直線l，分別交橢圓和圓x2+y2=a2于相異兩點(diǎn)P，Q．
（1）若直線l的斜率為$\frac{1}{2}$，求$\frac{AP}{AQ}$的值；
（2）若$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{AP}$，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．已知a，b，c∈R+，用綜合法證明：
（1）（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）≥16abc；
（2）2（a3+b3+c3）≥a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．2016年“五一”期間，高速公路某服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中，按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽查一輛進(jìn)行詢問調(diào)查．共詢問調(diào)查40名駕駛員．將他們在某段高速公路的車速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），
得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（I）求這40輛小型車輛的平均車速（各組數(shù)據(jù)平均值可用其中間數(shù)值代替）；
（II）若從車速在[60，70）的車輛中任意抽取2輛，求其中車速在[65，70）的車輛中至少有一輛的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．設(shè)橢圓E1的長半軸長為a1、短半軸長為b1，橢圓E2的長半軸長為a2、短半軸長為b2，若$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{_{1}}{_{2}}$，則我們稱橢圓E1與橢圓E2是相似橢圓．已知橢圓E：$\frac{x^2}{2}$+y2=1，其左頂點(diǎn)為A、右頂點(diǎn)為B．
（1）設(shè)橢圓E與橢圓F：$\frac{x^2}{s}$+$\frac{y^2}{2}$=1是“相似橢圓”，求常數(shù)s的值；
（2）設(shè)橢圓G：$\frac{x^2}{2}$+y2=λ（0＜λ＜1），過A作斜率為k1的直線l1與橢圓G僅有一個(gè)公共點(diǎn)，過橢圓E的上頂點(diǎn)為D作斜率為k2的直線l2與橢圓G僅有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)λ為何值時(shí)|k1|+|k2|取得最小值，并求其最小值；
（3）已知橢圓E與橢圓H：$\frac{x^2}{2}$+$\frac{y^2}{t}$=1（t＞2）是相似橢圓．橢圓H上異于A、B的任意一點(diǎn)C（x0，y0），求證：△ABC的垂心M在橢圓E上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

10．老師把4本不同的數(shù)學(xué)參考書和2本不同的英語參考書發(fā)給甲、乙兩位同學(xué)，每人3本，假設(shè)老師拿每本書是隨機(jī)的，用隨機(jī)變量X表示同學(xué)甲中英語書的本數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望為1．

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同步練習(xí)冊答案