Question

已知對任意正整數(shù)n，函數(shù)恒存在極小值a_n（a＞0），
（Ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求a_n并判斷數(shù)列{a_n}的單調性；
（Ⅲ）是否存在m∈N^*，使a_m＞0，若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因為函數(shù)的極小值處導數(shù)等于0，且極小值點處導數(shù)左負右正，若恒存在極小值a_n（a＞0），則導數(shù)等于0必有正解．因為，所以方程x²-2nx+a=0必有兩正根，則△＞0恒成立，解得a的范圍即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)的極小值是方程x²-2nx+a=0的根，解方程，根據(jù)一元二次方程根的分布，可判斷當n=時函數(shù)有極小值，求出極小值．再利用導數(shù)判斷數(shù)列{a_n}的單調性．
（Ⅲ）先假設存在m∈N^*，使a_m＞0，由（Ⅱ）已判斷數(shù)列{a_n}是單調減數(shù)列，所以當n=1時a_n最大，只需求a_n，看是否大于0，即可．
解答：解：（Ⅰ）
由條件得：方程x²-2nx+a=0必有兩根，
∵兩根之和為2n＞0，兩根之積為a＞0
∴兩根必為正根
則△=4n²-4a＞0，
得a＜n²，對一切正整數(shù)n都成立
所以，a的取值范圍是0＜a＜1．
（Ⅱ）為函數(shù)的極小值
設，（x≥1），則
因為x≥1，所以，得g'（x）＜0，
所以g（x）在[1，+∞）上單調遞減，故{a_n}是遞減數(shù)列．
（Ⅲ）假設存在m∈N^*，使a_m＞0，
由（Ⅱ）知{a_n}是遞減數(shù)列，先考慮第一項
令，則t∈（0，1），a₁=φ（t）=2t-2ln（1+t），則，φ（t）單調遞增，φ（t）＞φ（0）=0，所以a₁＞0；
再考慮第二項
令，則，a₂=h（u）=2u-4ln（2+u），則h（u）單調遞增，h（u）＜h（2）=4-4ln4＜0，所以a₂＜0，
故存在m=1符合題意．
點評：本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)極小值，以及利用導數(shù)判斷數(shù)列的單調性，及數(shù)列單調性的應用．