Question

7．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且2bsinB=（2a-c）sinA+（2c-a）sinC，acosA=bcosB，求∠A，∠B，∠C的大小．

Answer 1

分析 由正弦定理化簡已知等式，利用余弦定理即可求得$cosB=\frac{1}{2}$，結(jié)合0＜B＜π，可求$B=\frac{π}{3}$，又由acosA=bcosB利用正弦定理，倍角公式可得$sin2A=sin2B=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：由2bsinB=（2a-c）sinA+（2c-a）sinC，
由正弦定理得：2b²=（2a-c）a+（2c-a）c，…（2分）
即b²=a²+c²-ac，
∵$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}$，
∴$cosB=\frac{1}{2}$，…（4分）
又∵0＜B＜π，
∴$B=\frac{π}{3}$．…（6分）
∵又由acosA=bcosB得：sinAcosA=sinBcosB，即：$sin2A=sin2B=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又∵0＜2A＜2π，…（8分）
∴$2A=\frac{π}{3}$或$2A=\frac{2}{3}π$…（10分）
∴$當(dāng)A=\frac{π}{6}時，C=\frac{π}{2}$或$當(dāng)A=\frac{π}{3}時，C=\frac{π}{3}$，…（11分）
綜上：$A=\frac{π}{6}$，$B=\frac{π}{3}，C=\frac{π}{2}$或$A=\frac{π}{3}$，$B=C=\frac{π}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．