A、B、C是半徑為1的球面上三點(diǎn),B、C間的球面距離為
π
3
,點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)間的球面距離均為
π
2
,且球心為O,求:
(1)∠AOB,∠BOC的大小;
(2)球心到截面ABC的距離;
(3)球的內(nèi)接正方體的表面積與球面積之比.
分析:(1)根據(jù)球面距離的定義可得∠AOB、∠BOC、∠AOC的大;
(2)欲求球心O到截面ABC的距離,將它看成是三棱錐的高,從而球心到截面ABC的距離可通過三棱錐的等體積法解決.
(3)球的內(nèi)接正方體的對(duì)角線的長(zhǎng),就是球的直徑,據(jù)此求出正方體的棱長(zhǎng),求出兩個(gè)表面積即可確定比值.
解答:解:(1)∵球面距離?=θ•r(θ為劣弧所對(duì)圓心角),
且B、C間的球面距離為
π
3
,點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)間的球面距離均為
π
2
,
故得∠AOB=
π
2

∠BOC=
π
3
,
∠AOC=
π
2

(2)∵OA=OB=OC=1,
∴AB=AC=
2
,BC=1,
∴S△OBC=
3
4
,S△ABC=
7
4

V0-ABC=
1
3
3
4
•1=
1
3
7
4
•d,
∴d=
21
7
,球心到截面ABC的距離為
21
7
,
(3)設(shè)球的內(nèi)接正方體棱長(zhǎng)為a,
根據(jù)球的直徑為正方體的對(duì)角線,
3
a=2,
∴a=
2
3
3
,
∴S正方體:S球面=6•(
2
3
3
)2
:4Л=2:Л.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了球的性質(zhì)、點(diǎn)面間的距離計(jì)算,考查球的體積和表面積、球的內(nèi)接體的知識(shí),考查計(jì)算能力,空間想象能力,是基礎(chǔ)題.
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設(shè)A、B、C是半徑為1的球面上的三點(diǎn),B、C兩點(diǎn)間的球面距離為
π
3
,點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)間的球面距離均為
π
2
,O為球心,
求:(1)∠AOB、∠BOC的大小;
(2)球心O到截面ABC的距離.

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3
,則
AB
AC
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1
4
1
4

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A、B、C是半徑為1的球面上三點(diǎn),B、C兩點(diǎn)間的球面距離為,點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)間的球面距離為,球心為O,求:

(1)∠BOC、∠AOB的大小;

(2)球心到截面ABC的距離.

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