Question

數(shù)列{a_n}中a₁=

1

2

，前n項和 S_n=n²a_n-2n（n-1），n∈N^*．
（I）證明數(shù)列{

n+1

n

S_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求S_n關(guān)于n的表達(dá)式；
（Ⅲ）設(shè)b_n=

1

n2(2n-1)

S_n，數(shù)列{b_n}的前 n項和為 T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（I）利用等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{

n+1

n

S_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）結(jié)合數(shù)列{

n+1

n

S_n}是等差數(shù)列，即可求S_n關(guān)于n的表達(dá)式；
（Ⅲ）利用裂項法即可求數(shù)列{b_n}的前 n項和為 T_n．

解答： 解：（I）當(dāng)n≥2時，S_n=n²a_n-2n（n-1）=S_n=n²（S_n-S_n-1）-2n（n-1），
∴（n²-1）S_n-n²S_n-1=2n（n-1），
兩邊除以2n（n-1），得

n+1

n

S_n-

n

n-1

Sn-1=2，
則數(shù)列{

n+1

n

S_n}是公差d=2的等差數(shù)列；
（Ⅱ）當(dāng)n=1時，首項為2S₁=2×

1

2

=1，
∵數(shù)列{

n+1

n

S_n}是公差d=2的等差數(shù)列；
∴

n+1

n

S_n=1+2（n-1）=2n-1，
則S_n=

n(2n-1)

n+1

；
（Ⅲ）b_n=

1

n2(2n-1)

S_n=

1

n2(2n-1)

×

n(2n-1)

n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
則數(shù)列{b_n}的前 n項和為 T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的證明以及數(shù)列求和，要求熟練掌握利用裂項法求和的技巧．