【題目】已知函數(shù)在定義域內有兩個不同的極值點．

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）設兩個極值點分別為，，證明：.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）求出，令，則，分和兩種情況討論

（2）由（1）可知，，所以，要證：，即證，然后構造函數(shù)即可.

（1）由題意可知，的定義域為 且

令

則函數(shù)在定義域內有兩個不同的極值點等價于

在區(qū)間內至少有兩個不同的零點

由可知，

當時，恒成立，即函數(shù)在上單調，不符合題意，舍去.

當時，由得，，即函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；

由得，，即函數(shù)在區(qū)間上單調遞減；

故要滿足題意，必有 解得：

（2）證明：由（1）可知，，所以

故要證：

即證：

即證：不妨設，即證

構造函數(shù)： ，其中

由，所以函數(shù)在區(qū)間內單調遞減，

所以，原式得證.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下圖是民航部門統(tǒng)計的某年春節(jié)期間：中國民航出入境航線方面TOP10出入境國家和地區(qū)的旅客量以及相比上年同期變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖表，根據(jù)圖表，下面敘述不正確的是（ ）

A.東南亞仍是人們出境旅游的首選

B.臺灣和澳門均有超過一成的同比增長

C.越南和美國排在人們出境旅游選擇的前兩位

D.中-韓航線雖依然位列出入境國家和地區(qū)第三甲，但旅客量卻較去年出現(xiàn)負增長

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱-的底面是邊長為2的等邊三角形，底面，點分別是棱，上的點，且

（Ⅰ）證明：平面平面；

（II）若，求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且，的前n項和為.若對任意的恒成立.

（1）求數(shù)列，的通項公式；

（2）若數(shù)列滿足問：是否存在正整數(shù)，使得，若存在求出的值，若不存在，說明理由；

（3）若存在各項均為正整數(shù)公差為的無窮等差數(shù)列，滿足，且存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列，求的所有可能的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知正六棱錐的底面邊長為，高為．現(xiàn)從該棱錐的個頂點中隨機選取個點構成三角形，設隨機變量表示所得三角形的面積.

（1）求概率的值；

（2）求的分布列，并求其數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】垃圾分類，是指按一定規(guī)定或標準將垃圾分類儲存、分類投放和分類搬運，從而轉變成公共資源的一系列活動的總稱．分類的目的是提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟價值，力爭物盡其用．2019年6月25日，生活垃圾分類制度入法．到2020年底，先行先試的46個重點城市，要基本建成垃圾分類處理系統(tǒng)；其他地級城市實現(xiàn)公共機構生活垃圾分類全覆蓋．某機構欲組建一個有關“垃圾分類”相關事宜的項目組，對各個地區(qū)“垃圾分類”的處理模式進行相關報道．該機構從600名員工中進行篩選，篩選方法：每位員工測試，，三項工作，3項測試中至少2項測試“不合格”的員工，將被認定為“暫定”，有且只有一項測試“不合格”的員工將再測試，兩項，如果這兩項中有1項以上（含1項）測試“不合格”，將也被認定為“暫定”，每位員工測試，，三項工作相互獨立，每一項測試“不合格”的概率均為．

（1）記某位員工被認定為“暫定”的概率為，求；

（2）每位員工不需要重新測試的費用為90元，需要重新測試的總費用為150元，除測試費用外，其他費用總計為1萬元，若該機構的預算為8萬元，且該600名員工全部參與測試，問上述方案是否會超過預算?請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知P是圓上任意一點，F2(1,0)，線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點Q，當點P在圓F1上運動時，記點Q的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）過點的直線l與（1）中曲線相交于A，B兩點，O為坐標原點，求△AOB面積的最大值及此時直線l的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在正方體，點在線段上運動，則下列判斷正確的是（ ）

①平面平面

②平面

③異面直線與所成角的取值范圍是

④三棱錐的體積不變

A.①②B.①②④C.③④D.①④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖1，在矩形中，，，點在線段上，.把沿翻折至的位置，平面，連結，點在線段上，，如圖2.

（1）證明：平面；

（2）當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.

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