已知點P（-1，
3
2
）是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點，F(xiàn)1、F2分別是橢圓E的左、右焦點，O是坐標原點，PF1⊥x軸．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設A、B是橢圓E上兩個動點，
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，且λ≠2）．求證：直線AB的斜率等于橢圓E的離心率；
（3）在（2）的條件下，當△PAB面積取得最大值時，求λ的值．
（1）∵PF1⊥x軸，∴F1（-1，0），c=1，F(xiàn)2（1，0），
∴|PF2|=
22+(
3
2
)2
=
5
2
，∴2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，∴b2=3，
∴橢圓E的方程為：
x2
4
+
y2
3
=1；…（3分）
（2）證明：設A（x1，y1）、B（x2，y2），
由 
PA
+
PB
=λ
PO
得（x1+1，y1-
3
2
）+（x2+1，y2-
3
2
）=λ（1，-
3
2
），
所以x1+x2=λ-2，y1+y2=
3
2
（2-λ）…①…（5分）
又3
x21
+4
y21
=12，3
x22
+4
y22
=12，
兩式相減得3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0…．．②
以①式代入可得AB的斜率k=
y1-y2
x1-x2
=
1
2
=
c
a
=e；…（8分）
（3）設直線AB的方程為y=
1
2
x+t，與3x2+4y2=12聯(lián)立消去y并整理得 x2+tx+t2-3=0，△=3（4-t2），
|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+
1
4
×
3(4-t2)
=
15
2
×
4-t2
，
點P到直線AB的距離為d=
2|t-2|
5
，
△PAB的面積為S=
1
2
|AB|×d=
3
2
×
4-t2
|t-2|，…（10分）
設f（t）=S2=-
3
4
（t4-4t3+16t-16）（-2＜t＜2），
f′（t）=-3（t3-3t2+4）=-3（t+1）（t-2）2，由f′（t）=0及-2＜t＜2得t=-1．
當t∈（-2，-1）時，f′（t）＞0，當t∈（-1，2）時，f′（t）＜0，f（t）=-1時取得最大值
81
4
，
所以S的最大值為
9
2
．
此時x1+x2=-t=1=λ-2，λ=3．…（12分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P（1，-2）及其關(guān)于原點的對稱點中有且只有一個在不等式2x-by+1＞0表示的平面區(qū)域內(nèi)，則b的取值范圍是
（-∞，-
3
2
）∪（-
1
2
，+∞）．
（-∞，-
3
2
）∪（-
1
2
，+∞）．
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P（-1，
3
2
）是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點，F(xiàn)1、F2分別是橢圓E的左、右焦點，O是坐標原點，PF1⊥x軸．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設A、B是橢圓E上兩個動點，
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，且λ≠2）．求證：直線AB的斜率等于橢圓E的離心率；
（3）在（2）的條件下，當△PAB面積取得最大值時，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P（-1，
3
2
）是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點F1、F2分別是橢圓C的左、右焦點，O是坐標原點，PF1⊥x軸．
①求橢圓C的方程；
②設A、B是橢圓C上兩個動點，滿足：
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，且λ≠2）求直線AB的斜率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P（-1，
3
2
）是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點F1、F2分別是橢圓C的左、右焦點，O是坐標原點，PF1⊥x軸．
①求橢圓C的方程；
②設A、B是橢圓C上兩個動點，滿足
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，且λ≠2）求直線AB的斜率．

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