(14分)己知函數(shù)f (x)=ex,xR

(1)求 f (x)的反函數(shù)圖象上點(diǎn)(1,0)處的切線方程。

(2)證明:曲線y=f(x)與曲線y=有唯一公共點(diǎn);

(3)設(shè),比較的大小,并說(shuō)明理由。

 

【答案】

(1) ;(2) 詳見(jiàn)解析;(3) .

【解析】

試題分析:(1)f (x)的反函數(shù). 直線y=kx+1恒過(guò)點(diǎn)P(0,1),該題即為過(guò)某點(diǎn)與曲線相切的問(wèn)題,這類題一定要先設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo),然后求導(dǎo)便可得方程組,解方程組即可得k的值.

 (2)曲線y=f(x)與曲線 的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程 根的個(gè)數(shù). 而這個(gè)方程可化為

,令,結(jié)合的圖象即可知道取不同值時(shí),方程的根的個(gè)數(shù).

(3) 比較兩個(gè)式子的大小的一般方法是用比較法,即作差,變形,判斷符號(hào).

 

 

結(jié)合這個(gè)式子的特征可看出,我們可研究函數(shù)的函數(shù)值的符號(hào),而用導(dǎo)數(shù)即可解決.

試題解析:(1)  f (x)的反函數(shù)為. ,,所以過(guò)點(diǎn)的切線為: . 4分

(2)  令,則,當(dāng)時(shí) ,當(dāng)時(shí),所以在R上單調(diào)遞增.又,所以 有且只有一個(gè)零點(diǎn),即曲線有唯一一個(gè)公共點(diǎn).8分

(3) 設(shè) 

     9分

,則,

的導(dǎo)函數(shù),所以上單調(diào)遞增,且,因此,上單調(diào)遞增,而,所以在.    12分

當(dāng)時(shí),,

 

所以當(dāng)時(shí),            14分

考點(diǎn):1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用;2、方程的根;3、比較大小.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(本小題滿分14分)

己知函數(shù)的反函數(shù)是,設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意的正整數(shù)n,都有成立,且bn=f-1(an)

(I)求數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式

(II)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)是否存在使得成立?若存在,找出一個(gè)正整數(shù)k:若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由

(III)記,設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求證:對(duì)任意正整數(shù)n都有.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案