Question

17、在（a-2b）ⁿ的展開式中，
（1）若n=10，求展開式的倒數(shù)第四項(xiàng)（要求將系數(shù)計(jì)算到具體數(shù)值）
（2）若展開式中二項(xiàng)式系數(shù)不超過6的項(xiàng)恰好有5項(xiàng)，求n的值；
（3）若展開式中系數(shù)不超過6的項(xiàng)恰好有五項(xiàng)，求n的值．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，令r=7即倒數(shù)第4項(xiàng)．
（2）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)不超過6的項(xiàng)恰好有5項(xiàng)，從兩個(gè)方面考慮：一方面說明n≥4，5項(xiàng)存在．另一方面說明展開式的第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)也不超過6，即n≤6，再分別求出當(dāng)n=4時(shí)，當(dāng)n=5，當(dāng)n=6，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，從而求得n的值；
（3）由于展開式第r+1項(xiàng)的系數(shù)是C_n^r（-2）^r展開式種的第一項(xiàng)系數(shù)等于1，不超過6；要展開式有5項(xiàng)，n≥4，展開式種所有偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)均為負(fù)，故偶數(shù)項(xiàng)不能超過4項(xiàng)，即n≤8，下面分別求出當(dāng)n=4，n=5，n=6時(shí)，n=7時(shí)，當(dāng)n=8時(shí)，討論展開式中系數(shù)不超過6的項(xiàng)的情況，從而求得所求n的值．

解答：解：（1）（a-2b）ⁿ展開式的通項(xiàng)公式（即第r+1項(xiàng)）是：T_r+1=C_n^ra^n-r（-2b）^r
n=10時(shí)，展開式共有11項(xiàng)，其倒數(shù)第四項(xiàng)即第八項(xiàng)．T₇₊₁=C₁₀⁷a^10-7（-2b）⁷=-15360a³b⁷
（2）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)不超過6的項(xiàng)恰好有5項(xiàng)，
一方面說明n≥4，5項(xiàng)存在．
另一方面說明展開式的第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)也不超過6，即n≤6
當(dāng)n=4時(shí)，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是1，4，6，4，1，恰好有5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)不超過6．
當(dāng)n=5，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是1，5，10，10，5，1，沒有5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)不超過6．
當(dāng)n=6，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是1，6，15，20，15，6，1，沒有5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)不超過6．
所以，所求n的值等于4．
（3）展開式第r+1項(xiàng)的系數(shù)是C_n^r（-2）^r
展開式種的第一項(xiàng)系數(shù)等于1，不超過6；
要展開式有5項(xiàng)，n≥4
展開式種所有偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)均為負(fù)，故偶數(shù)項(xiàng)不能超過4項(xiàng)，即n≤8
當(dāng)n=4時(shí)，各項(xiàng)的習(xí)俗分別是1，-8，24，-32，16，沒有5項(xiàng)系數(shù)不超過6．
類似地，n=5，n=6時(shí)，展開式種都沒有5項(xiàng)系數(shù)不超過6．
當(dāng)n=7時(shí)，第1，2，4，6，8項(xiàng)的習(xí)俗不超過6．
當(dāng)n=8時(shí)，第1，2，4，6，8項(xiàng)的習(xí)俗不超過6．
所以，所求n的值等于7或者8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題．主要考查了二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)的求法：利用最大的系數(shù)大于它前面的系數(shù)同時(shí)大于它后面的系數(shù)來求．