已知函數(shù)．

（1）若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不相等的實根，求實數(shù)的取值范圍；

（2）如果函數(shù)的圖像與x軸交于兩點，且，求證：（其中，是的導函數(shù)，正常數(shù)滿足）．

解：（1）∵，，              -----1分

       ∴當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減。                                                            ----3分

       ∴當x=1時，有極大值，也是最大值，即為-1，但無最小值。

       故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；最大值為-1，但無最小值。

       方程化為，                               -----3分

       由上知，在區(qū)間上的最大值為-1，，，。故在區(qū)間上有兩個不等實根需滿足，

       ∴，∴實數(shù)m的取值范圍為。             -----6分

（2）∵，又有兩個實根，

       ∴兩式相減，得

       ∴                  -----8分

       于是

       =．

       ∵,∴,∵,∴。           -----9分

       要證：，只需證：．

       只需證：．                     （＊）

       令，∴（＊）化為

       只證即可．                                -----11分

             

              ，，0<t<1，

       ∴t-1<0．

       ∴u'（t）>0,∴u（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，∴u（t）<u（1）=0

       ∴u（t）<0，

       即：．

                                 ．．．．．．．．．．．．．13分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）已知函數(shù)．

（1）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（3）設函數(shù)，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆寧夏高二上學期期末考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分12分）已知函數(shù)，

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，求證：．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年湖南省岳陽市高三第一次質(zhì)量檢測理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分13分）已知函數(shù)．

（1）若為的極值點，求實數(shù)的值；

（2）若在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，方程有實根，求實數(shù)的最大值．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年湖北省華中師大一附中高三上學期期中檢測文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)。

（1）若，求函數(shù)的值；

（2）求函數(shù)的值域。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：吉林省10-11學年高二下學期期末考試數(shù)學（理） 題型：解答題

已知函數(shù)．

（1）若從集合中任取一個元素，從集合中任取一個元素，求方程有兩個不相等實根的概率；

（2）若是從區(qū)間中任取的一個數(shù)，是從區(qū)間中任取的一個數(shù)，求方程沒有實根的概率．

 

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