Question

17．若三棱錐的一條棱長為x，其余棱長均為1，體積是V（x），則函數(shù)V（x）在其定義域上為（　�。�

• A． 增函數(shù)且有最大值
• B． 增函數(shù)且沒有最大值
• C． 不是增函數(shù)且有最大值
• D． 不是增函數(shù)且沒有最大值

Answer 1

分析 由題意畫出棱錐的圖形，AB=BC=CD=BD=AC=1，AD=x，取BC，AD的中點分別為E，F(xiàn)，可知平面BC⊥面AED，可得S_△AED=$\frac{1}{2}$AD•EF，V（x）=$\frac{1}{3}$•S_△AED•BC=$\frac{{\sqrt{{x^2}（{3-{x^2}}）}}}{12}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出最大值．

解答 解：由題意畫出棱錐的圖形，AB=BC=CD=BD=AC=1，AD=x，
取BC，AD的中點分別為E，F(xiàn)，可知平面BC⊥面AED，
S_△AED=$\frac{1}{2}$AD•EF=$\frac{1}{2}×x×\sqrt{{{（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）}^2}-{{（{\frac{x}{2}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{{x^2}（{3-{x^2}}）}}}{4}$，
∴V（x）=$\frac{1}{3}$•S_△AED•BC=$\frac{{\sqrt{{x^2}（{3-{x^2}}）}}}{12}$$≤\frac{1}{12}×\frac{{{x^2}+3-{x^2}}}{2}=\frac{1}{8}$．當且僅當x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$取等號．
∴函數(shù)V（x）在其定義域上為不是增函數(shù)，但是有最大值．　　
故選：C．

點評 本題考查了三棱錐的性質(zhì)與體積計算公式、等腰三角形的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．