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14.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=13,公比為q>0,S1+a1,S3+72a3,S2+a2成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求an
(Ⅱ)設(shè)bn=1log13an,cn=bn(bn+1-bn+2),求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (I)由S1+a1,S3+72a3,S2+a2成等差數(shù)列,可得2(S3+72a3)=S1+a1+S2+a2,化簡整理可得:9a3=a1,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(II)bn=1n,cn=1n1n+11n+2=1n1n+1-121n1n+2,利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出.

解答 解:(I)∵S1+a1,S3+72a3,S2+a2成等差數(shù)列,
∴2(S3+72a3)=S1+a1+S2+a2,∴2a1+a2+92a3=3a1+2a2,化為9a3=a1,
∴q2=19,q>0,解得q=13
∴an=13n
(II)bn=1log13an=1n,cn=bn(bn+1-bn+2)=1n1n+11n+2=1n1n+1-121n1n+2,
∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn=[112+1213++1n1n+1]-12[113+1214+1315+…+1n11n+1+1n1n+2]
=1-1n+1-121+121n+11n+2
=14-12n+1n+2

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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