Question

14．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=$\frac{1}{3}$，公比為q＞0，S₁+a₁，S₃+$\frac{7}{2}$a₃，S₂+a₂成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{3}}{a}_{n}}$，c_n=b_n（b_n+1-b_n+2），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）由S₁+a₁，S₃+$\frac{7}{2}$a₃，S₂+a₂成等差數(shù)列，可得2（S₃+$\frac{7}{2}$a₃）=S₁+a₁+S₂+a₂，化簡整理可得：9a₃=a₁，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）b_n=$\frac{1}{n}$，c_n=$\frac{1}{n}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$-$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵S₁+a₁，S₃+$\frac{7}{2}$a₃，S₂+a₂成等差數(shù)列，
∴2（S₃+$\frac{7}{2}$a₃）=S₁+a₁+S₂+a₂，∴$2（{a}_{1}+{a}_{2}+\frac{9}{2}{a}_{3}）$=3a₁+2a₂，化為9a₃=a₁，
∴q²=$\frac{1}{9}$，q＞0，解得q=$\frac{1}{3}$．
∴a_n=$（\frac{1}{3}）^{n}$．
（II）b_n=$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{3}}{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，c_n=b_n（b_n+1-b_n+2）=$\frac{1}{n}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$-$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$-$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=1-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2（n+1）（n+2）}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．