Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，B=

π

3

，cosA=

4

5

，b=

3

．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由cosA=

4

5

得到A為銳角且利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到C=π-

π

3

-A，然后將C的值代入sinC，利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將sinA和cosA代入即可求出值；
（Ⅱ）要求三角形的面積，根據(jù)面積公式S=

1

2

absinC和（Ⅰ）可知公式里邊的a不知道，所以利用正弦定理求出a即可．

解答：解：（Ⅰ）∵A、B、C為△ABC的內(nèi)角，且B=

π

3

，cosA=

4

5

＞0，
∴A為銳角，
則sinA=

1-cos2A

=

3

5

∴C=

2π

3

-A
∴sinC=sin（

2π

3

-A）=

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3+4 3

10

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA=

3

5

，sinC=

3+4 3

10

，
又∵B=

π

3

，b=

3

，
∴在△ABC中，由正弦定理，得
∴a=

bsinA

sinB

=

6

5

，
∴△ABC的面積S=

1

2

absinC=

1

2

×

6

5

×

3

×

3+4 3

10

=

36+9 3

50

．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦定理、三角形的面積公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值．靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值．