Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax-1，a為實常數(shù)．
（1）a在什么范圍內(nèi)時，y=f（x）與y=3只有一個公共點？
（2）若上有最小值2，求a的值．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²+3a=3（x²+a）．
①當a≥0時，f′（x）≥0，所以f（x）在R上單調(diào)增，此時y=f（x）與y=3只有一個公共點；
②當時，．由f'（x）=0，得．
在x∈R上列表：

x	（-∞，-）	-	（-，）		（，+∞）
f′（x）	+	0	─	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

因為y=f（x）與y=3只有一個公共點，所以f（x）_極大值＜3或f（x）_極小值＞3．
所以，得．
綜上，a＞-1，y=f（x）與y=3只有一個公共點．
（2）．
由∅（-x）=∅（x），可知∅（x）為偶函數(shù)，則原題即為∅（x）在（0，2]上有最小值2．
設（x∈（0，2]），則．
①a＜0時，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，2]上單調(diào)增，所以．
因為∅（x）在（0，2]上有最小值2，所以，所以．
②a=0時，∅（x）=x，無最小值，不合題意．
③a＞0時，∅（x）=g（x），．
（I）時，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，2]上單調(diào)減，所以，
此時∅（x）在（0，2]上的最小值為，不合．
（II）時，由g'（x）=0，得．
在x∈（0，2]上列表：

x	（0，）		（，2）	2
g′（x）	─	0	+
g（x）	↘	極小值	↗	2+

∴．
綜上，a的值為．
分析：（1）要使函數(shù)f（x）=x³-3a²x+1的圖象與直線y=3只有一個公共點，只需利用函數(shù)的最大值或最小值與3進行比較，先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，由于實數(shù)a的值不確定，故要分類討論．
（2）根據(jù)題意，由∅（-x）=∅（x），可知∅（x）為偶函數(shù)，則原題即為∅（x）在（0，2]上有最小值2．對a值分三種情況討論，分別求導，判斷單調(diào)性，求出最小值，令其等于2，可以解得a的值，分析取舍可得答案．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導數(shù)的應用，考查運用數(shù)學知識分析問題解決問題的能力．