Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x，g（x）是R上的奇函數(shù)，且當x∈（-∞，0]時，g（x）+f（x）=x²
（1）求函數(shù)g（x）在R上的解析式；
（2）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；
（3）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-1，1]上是增函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設x∈[0，+∞），則-x∈（-∞，0]
∵當x∈（-∞，0]時，g（x）+f（x）=x²∴當x∈（-∞，0]時，g（x）=2x
∴g（-x）=-2x∵g（x）是R上的奇函數(shù)∴g（x）=-g（-x）=2x，x∈[0，+∞）
∴函數(shù)g（x）在R上的解析式，g（x）=2x
（2）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得|x-1|≥x²-4x∴x²-5x+1≤0，x²-3x-1≤0
∴
因此，原不等式的解集為
（3）h（x）=-λx²+（2λ+2）x+1
①λ=0時，h（x）=2x+1在[-1，1]上是增函數(shù)∴λ=0
②當λ≠0，對稱軸方程為
當λ＜0時，，解得
當λ＞0時，，解得λ＞0
綜上所述，．
分析：（1）根據(jù)x∈（-∞，0]時，g（x）=2x，g（x）是R上的奇函數(shù)，可求得函數(shù)g（x）在R上的解析式；
（2）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得|x-1|≥x²-4x，根據(jù)絕對值不等式（|x|≥a型）可得：x²-5x+1≤0，x²-3x-1≤0，從而可求得不等式g（x）≥f（x）-|x-1|的解集；
（3）h（x）=-λx²+（2λ+2）x+1，對λ分類討論，結合函數(shù)的單調性可求得λ的取值范圍．
點評：本題考查函數(shù)奇偶性與單調性的性質，著重考查學生分類討論思想與轉化思想，靈活運用二次函數(shù)的性質的能力，屬于難題．