Processing math: 76%
1.已知在遞增等差數(shù)列{an}中,a1=2,a3是a1和a9的等比中項(xiàng).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若bn=1n+1an,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)m,使得Sn<m對(duì)于任意的n∈N+恒成立?若存在,請(qǐng)求實(shí)數(shù)m的取值范圍,若不存在,試說(shuō)明理由.

分析 (I)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(Ⅱ)存在m12.由于bn=1n+1an=121n1n+1,利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出.

解答 解:(Ⅰ)由{an}為等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則an=a1+(n-1)d,
∵a3是a1和a9的等比中項(xiàng),
a23=a1•a9,即(2+2d)2=2(2+8d),
解得d=0(舍)或d=2,
∴an=2+2(n-1)=2n.
(Ⅱ)存在m12
bn=1n+1an=121n1n+1,
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=12[112+1213+…+1n1n+1]=1211n+112
∴存在實(shí)數(shù)m12,使得Sn<m對(duì)于任意的n∈N+恒成立.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、“放縮法”,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

19.m為整數(shù),關(guān)于x的不等式|2x-m|≤1的整數(shù)解有且僅有一個(gè)值為3.
(1)求整數(shù)m的值;
(2)對(duì)滿(mǎn)足已知不等式的x,證明:2x+m-x1>2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

20.在△ABC中,若sinAcosB=1一cosAsinB,則這個(gè)三角形是直角三角形.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

17.已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足{2x+y44xy8xy1,則x2+y2-2x的取值范圍是( �。�
A.[-15,19]B.[-15,+∞)C.[3,19]D.[-15,3]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

4.求經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(1,-1)、B(1,4)、C(4,2)的圓的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

6.一個(gè)圓錐底面半徑是1,母線(xiàn)和軸的夾角是\frac{π}{6},則圓錐的側(cè)面積為2π.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

13.設(shè)實(shí)數(shù)a<0,定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=a{cos^2}x-bsinxcosx-\frac{a}{2}的最大值是\frac{1}{2},且f(\frac{π}{3})=\frac{{\sqrt{3}}}{4},
(1)求a、b的值;
(2)求函數(shù)f(x)在x∈[\frac{π}{4},\frac{3π}{4}]上的最值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

10.兩直線(xiàn)a,b和平面α,其中下列正確的命題是③
①若a∥b,a?α,則b∥α
②若a,b與α所成角相等,則a∥b
③若a⊥α,b⊥α,則a∥b
④若a⊥α,b⊥a,則b∥α

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

11.已知等比數(shù)列{an}中,a1=1,且a2+a4=3(a3+1).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=log3a2+log3a3+log3a4+…+log3an+1,求數(shù)列{\frac{1}{_{n}}}的前n項(xiàng)和.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案