Question

21、已知函數(shù)f（x）=x³+ax+b（x∈R），且f（0）=1．
（1）若f（x）在R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若y=f（x）在x=1處的切線與y軸交于點B，且A（1，f（1）），求d（a）=|AB|²在a∈[c，+∞）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)條件求出b的值，欲使f（x）在R上單調(diào)遞增，只需f'（x）=3x²+a≥0恒成立，將參數(shù)a分離出來，研究不等式另一側(cè)的最值即可；
（2）先求出A點坐標(biāo)，然后求出f（x）在x=1處的切線方程，求出點B的坐標(biāo)，將d（a）=|AB|²的表達(dá)式求出來，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性與對稱軸有關(guān)進(jìn)行討論即可求出最小值．

解答：解：（1）由f（0）=1，得b=1，這時f（x）=x³+ax+1，f'（x）=3x²+a≥0恒成立
∴a≥-3x²得a≥0
（2）∵f（1）=1+a+1=2+a，即A（1，2+a），而x=1時，f'（1）=3+a
故在x=1處f（x）的切線方程為y-（2+a）=（a+3）（x-1）
當(dāng)x=0時，y=-1，即B（0，-1）
∴d（a）=|AB|²=1+（a+3）²，a∈[c，+∞）
當(dāng)c＜-3時，d（a）的最小值為1
當(dāng)c≥-3時，d（a）的最大值為d（c）=（c+3）²+1

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，屬于基礎(chǔ)題．