Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax³+2bx²+3cx+4d（a，b，c，d為實數(shù)，a＜0，c＞0）是奇函數(shù)，且當x∈[0，1]時，f（x）的值域為[0，1]，則c的最大值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}+1}{4}$

Answer 1

分析 求導數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合x∈[0，1]時，有f（x）∈[0，1]，即可c的最大值

解答 解：∵函數(shù)f（x）=ax³+2bx²+3cx+4d是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即-ax³+2bx²-3cx+4d=-ax³-2bx²-3cx-4d恒成立，
∴b=d=0，
∴f（x）=ax³+3cx，
∴f′（x）=3ax²+3c，
令f′（x）=0，則x=±$\sqrt{\frac{-c}{a}}$，
當x∈[0，1]時，
①若$\sqrt{\frac{-c}{a}}$≥1，則f（x）_max=f（1）=a+3c=1，
∴c∈（0，$\frac{1}{2}$]；
②0＜$\sqrt{\frac{-c}{a}}$＜1，f（x）_max=f（$\sqrt{\frac{-c}{a}}$）=1，f（1）≥0，
∴c∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
∴c的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：C

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的值域，考查學生的計算能力，屬于中檔題．