11.如圖,多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為菱形,且∠DAB=60°,EF∥AC,AD=2,EA=ED=EF=$\sqrt{3}$.
(1)求證:AE∥面BDF;
(2)求證:AD⊥BE.

分析 (1)設(shè)AC交BD于O點,連接OF,由余弦定理可得A0=$\sqrt{3}$=EF,又EF∥AC,即可證明AE∥FO,從而可證AE∥面BDF;
(2)取AD中點G,連接BG,EG,通過證明EG⊥AD,BG⊥AD,可證AD⊥平面EGB,即可得證AD⊥BE.

解答  證明:(1)設(shè)AC交BD于O點,連接OF,
∵四邊形ABCD為菱形,且∠DAB=60°,AD=2,
∴∠ADC=120°,由余弦定理可得:AC2=AD2+DC2-2•AD•DC•cos∠ADC=22+22-2×2×2×cos120°=12,
∴A0=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$=EF,
又∵EF∥AC,
∴四邊形AEFO為平行四邊形,可得AE∥FO,
又∵AE?面BDF,F(xiàn)O?面BDF,
∴AE∥面BDF;
(2)如圖,取AD中點G,連接BG,EG,
∵EA=ED,可得EG⊥AD,
∵四邊形ABCD為菱形,且∠DAB=60°,可得BG⊥AD,
又∵BG∩EG=G,
∴AD⊥平面EGB,
∵BE?平面EGB,
∴AD⊥BE.

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,考查了空間想象能力和推理論證能力,屬于中檔題.

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