Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E、F分別為AD₁、BD的中點．
（1）求證：EF∥平面B₁D₁C；
（2）求二面角B₁-D₁C-A的大�。�
（3）求三棱錐B₁-ACD₁的體積．

Answer 1

分析：（1）證明EF∥平面B₁D₁C，利用線面平行的判定定理，只需證明EF∥D₁C；
（2）取D₁C的中點M，連接AM，B₁M，B₁A，證明∠AMB₁為二面角B₁-D₁C-A的平面角，計算AM=

6

2

，B1M=

6

2

，B1A=

2

，利用余弦定理，即可求得二面角B₁-D₁C-A的大�。�
（3）利用V_B1-ACD1=V_{ABCD-A1B1C1D1}-4V_B1-ABC，即可求得三棱錐B₁-ACD₁的體積．

解答：（1）證明：連接AC，在△AD₁C中，
∵F為BD的中點，∴F為AC的中點
∵E為AD₁的中點，
∴EF∥D₁C
∵EF?平面B₁D₁C，D₁C?平面B₁D₁C
∴EF∥平面B₁D₁C；
（2）解：取D₁C的中點M，連接AM，B₁M，B₁A
∵△AD₁C為正三角形，M為CD₁的中點
∴AM⊥D₁C
同理，在正三角形B₁D₁C，B₁M⊥D₁C
∴∠AMB₁為二面角B₁-D₁C-A的平面角
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1
∴AM=

6

2

，B1M=

6

2

，B1A=

2

∴cos∠AMB₁=

1

3

∴二面角B₁-D₁C-A的大小為arccos

1

3

；
（3）解：V_B1-ACD1=V_{ABCD-A1B1C1D1}-4V_B1-ABC=1-4×

1

3

×

1

2

×1×1=

1

3

點評：本題考查線面平行，考查面面角，考查三棱錐的體積，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定定理，正確作出面面角，屬于中檔題．