Question

3．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tant}\\{y=1+ktant}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t≠nπ+$\frac{π}{2}$，n∈Z），以O為原點，Ox軸為極軸，單位長度不變，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=ρcos²θ+4cosθ．
（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線l和曲線C相切，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直線的參數(shù)方程之間求解直線l的普通方程，利用曲線的極坐標方程之間求解曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）通過直線l和曲線C相切，聯(lián)立方程組，利用判別式為0，即可求實數(shù)k的值．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{x=tant}\\{y=1+ktant}\end{array}\right.$得直線l的普通方程為y=kx+1…（2分）
由ρ=ρcos²θ+4cosθ得ρ²=ρ²cos²θ+4ρcosθ即：x²+y²=x²+4x，
y²=4x，曲線C的直角坐標方程為：y²=4x…（4分）
（Ⅱ）把y=kx+1代入y²=4x，得k²x²+（2k-4）x+1=0，
由△=（2k-4）²-4k²=0…（6分）
解得k=1…（7分）

點評 本題考查參數(shù)方程以及極坐標方程與普通方程的互化，直線與拋物線的位置關系的應用，考查計算能力．