Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：{

an

2n

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等差關系的確定,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：本題（Ⅰ）利用遞推關系條件，根據(jù)等差數(shù)列定義，證明{

an

2n

}是等差數(shù)列，得到本題結論；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）得到數(shù)列{

an

2n

}的通項公式，從而得到數(shù)列{a_n}的通項公式；（Ⅲ）利用錯位相減法，求出數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，得到本題結論．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
∴

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，
∴{

an

2n

}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，
∴

a1

21

=

1

2

，
由（Ⅰ）知：{

an

2n

}是等差數(shù)列．
∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)=n-

1

2

．
∴an=(2n-1)2n-1．
（Ⅲ）解：由an=(2n-1)2n-1得：
S_n=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）2^n-1，…①
2S_n=1•2¹+3•2²+5•2³+…+（2n-1）2ⁿ，…②
將①-②得：-S_n=1+2•2¹+2•2²+2•2³+…+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ，
即：-S_n=1+（2•2¹+2•2²+2•2³+…+2•2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，
=1+

22(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ，
=-3+（3-2n）•2ⁿ，
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

點評：本題考查了構造數(shù)列法求數(shù)列通項、錯位相減法求數(shù)列的和，本題有一定的計算量，難度適中，屬于中檔題．