Question

10．已知等差數(shù)列{a_n}的公差為2，且a₁，a₁+a₂，2（a₁+a₄）成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n+2^n-1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）由a₁，a₁+a₂，2（a₁+a₄）成等比數(shù)列，可得$（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}$=2a₁•（a₁+a₄），即$（2{a}_{1}+2）^{2}$=2a₁（2a₁+6），解得a₁即可得出．
（II）b_n=a_n+2^n-1=（2n-1）+2^n-1．再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）∵等差數(shù)列{a_n}的公差為2，
∴a₂=a₁+2，a₄=a₁+6，
∵a₁，a₁+a₂，2（a₁+a₄）成等比數(shù)列，
∴$（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}$=2a₁•（a₁+a₄），即$（2{a}_{1}+2）^{2}$=2a₁（2a₁+6），解得a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）b_n=a_n+2^n-1=（2n-1）+2^n-1．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$+$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=n²+2ⁿ-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．