Question

1．函數(shù)f（x）=6cos²$\frac{ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sinωx-3（ω＞0）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點(diǎn)，B、C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且△ABC為正三角形．
（1）求ω的值及函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f（x₀）=$\frac{4\sqrt{15}}{5}$，且x₀∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$），求f（x₀+1）的值．

Answer 1

分析 （1）變形可得f（x）=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），由又由三角形的知識(shí)和周期公式可得ω=$\frac{π}{4}$，由振幅的意義可得值域；
（2）由已知和（1）的解析式可得sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，進(jìn)而由角的范圍和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，代入f（x₀+1）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$[sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）+cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）]計(jì)算可得．

解答 解：（1）由已知得f（x）=6cos²$\frac{ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sinωx-3
=3cosωx+$\sqrt{3}$sinωx=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$）
又△ABC為正三角形，且高為2$\sqrt{3}$，可得BC=4．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為8，即$\frac{2π}{ω}$=8，
解得ω=$\frac{π}{4}$，∴f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$），
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋篬-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]；
（2）∵f（x₀）=$\frac{4\sqrt{15}}{5}$，
∴2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4\sqrt{15}}{5}$，
故sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵x₀∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$），∴$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（\frac{π}{4}{x}_{0}+\frac{π}{3}）}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
∴f（x₀+1）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$）
=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$[sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）+cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）]=$\frac{3\sqrt{30}}{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和和差角的三角函數(shù)以及整體思想，屬中檔題．