Question

平面內(nèi)有n條直線，其中沒有兩條平行，也沒有三條或三條以上過同一點(diǎn)，設(shè)過n條直線將平面分割成的區(qū)域數(shù)為f(n)，探求f(n)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。

 

Answer 1

答案：
解析：

當(dāng)n=1時(shí)，顯然f(1)=2，當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=2+2=4， 當(dāng)n=3時(shí)，f(3)=4+3=7，當(dāng)n=4時(shí)，f(4)=f(3)+4，由此猜想：f(n)=f(n－1)+n， 把n取2，3，4……，n所得的n－1個(gè)式子累加， 得f(n)=2+2+3+4+…+n=1+，即。 （1）當(dāng)n=1時(shí)，f(1)=，結(jié)論顯然成立。 （2）假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即平面內(nèi)滿足條件的k條直線把平面分成的區(qū)域個(gè)數(shù)為f(k)=，則當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1條直線與前k條直線有k個(gè)交點(diǎn)，這k個(gè)交點(diǎn)將第k+1條直線分成k+1段，而每一段又將它所在區(qū)域一分為二，這樣f(k+1)比f(k)多k+1。 ∴， ∴當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立。 由（1）、（2）知，對(duì)任意n∈N結(jié)論都成立。