Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是AB=2，BC=3的矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求證：面PAD⊥面PAB．
（Ⅱ）求二面角P-CD-A的大�。�

Answer 1

分析：（1）由于側(cè)面PAB⊥底面ABCD，直接利用面面垂直的性質(zhì)可得BC⊥側(cè)面PAB，由BC∥AD得AD⊥側(cè)面PAB，利用面面垂直的判定可得側(cè)面PAD⊥側(cè)面PAB．
（2）取AB中點(diǎn)O，取CD中點(diǎn)E，以O(shè)B為x軸，以O(shè)E為y軸，以O(shè)P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P-CD-A的大�。�

解答：（1）證明：∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，
且側(cè)面PAB與底面ABCD的交線(xiàn)是AB，
∴在矩形ABCD中，BC⊥側(cè)面PAB，
在矩形ABCD中，AD∥BC，BC⊥側(cè)面PAB，
∴AD⊥側(cè)面PAB，
又AD?平面PAD，∴側(cè)面PAD⊥側(cè)面PAB．
（2）解：取AB中點(diǎn)O，取CD中點(diǎn)E，以O(shè)B為x軸，以O(shè)E為y軸，以O(shè)P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵四棱錐P-ABCD的底面是AB=2，BC=3的矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，
∴P（0，0，

3

），C（1，3，0），D（-1，3，0），
∴

PC

=（1，3，-

3

），

PD

=(-1，3，-

3

），
設(shè)平面PCD的法向量

m

=（x，y，z），則

m

•

PC

=0，

m

•

PD

=0，
∴

x+3y- 3 z=0 -x+3y- 3 z=0

，解得

m

=（0，

3

，3），
∵平面CDA的法向量

n

=（0，0，1），
∴二面角P-CD-A的平面角的余弦值為|cos＜

m

，

n

＞|=|

3

12

|=

3

2

，
∴二面角P-CD-A的平面角為

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查了二面角的求法，它們是實(shí)現(xiàn)線(xiàn)面垂直和面面垂直之間轉(zhuǎn)化的橋梁，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．