Question

20、直角三角形ABC中∠C=90°，PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N．
求證：①BC⊥平面PAC；
②PB⊥平面AMN．

Answer 1

分析：①由已知中直角三角形ABC中∠C=90°，PA⊥平面ABC，我們易得到AC⊥BC，PA⊥BC，由線面垂直的判定定理，即可得到BC⊥平面PAC；
②由①的結論，結合線面垂直的性質，可得BC⊥AN，由AM⊥PB于M，AN⊥PC于N，我們由線面垂直的判定定理，即可得到PB⊥平面AMN．

解答：證明：①∵直角三角形ABC中∠C=90°，
∴AC⊥BC
又∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC
又由PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC；
②由①中結論得：BC⊥AN
又∵AN⊥PC于N．BC∩PC=C
∴AN⊥平面PBC，又由PB?平面PBC，
∴AN⊥PB，又由AM⊥PB于M，AN∩AM=A
∴PB⊥平面AMN

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，熟練掌握空間中直線與平面垂直的判定定理，是解答本題的關鍵．