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5.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為12,過橢圓的左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與圓x2+y2=2a2相切
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N(M,N是左、右頂點(diǎn)),若以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓C的右頂點(diǎn)A,判斷直線l是否過定點(diǎn),若是,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說明理由.

分析 (I)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2a2+y22=1(a>b>0),則ca=12.過橢圓的左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線方程為:y=3(x+c),由于此直線與圓x2+y2=2a2相切,可得3c2=\frac{a},與a2=b2+c2,聯(lián)立解出即可得出.
(II)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).與橢圓方程聯(lián)立化為:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,△>0,由于以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓C的右頂點(diǎn)A(2,0),可得AMAN=(1+k2)x1x2+(mk-2)(x1+x2)+m2+4=0,把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得m,k的關(guān)系式,進(jìn)而得出答案.

解答 解:(I)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2a2+y22=1(a>b>0),則ca=12
F(-c,0),∴過橢圓的左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線方程為:y=3(x+c),
由于此直線與圓x2+y2=2a2相切,∴3c2=\frac{a},
又a2=b2+c2,聯(lián)立解得:a=2,c=1,b=3
∴橢圓C的方程為x24+y23=1.
(II)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).
聯(lián)立{y=kx+mx24+y23=1,化為:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
△=64k2m2-16(3+4k2)(m2-3)>0,化為:3+4k2>m2.(*)
∴x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2123+4k2
∵以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓C的右頂點(diǎn)A(2,0),
AMAN=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(x1-2)(x2-2)+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+(mk-2)(x1+x2)+m2+4=0,
1+k24m2123+4k2+mk28km3+4k2+m2+4=0,
化為:7m2+16km+4k2=0,
∴7m+2k=0,或m+2k=0.
都滿足(*).
當(dāng)7m+2k=0時(shí),直線l化為:y=k(x-27),直線l經(jīng)過定點(diǎn)270
當(dāng)7m+2k=0時(shí),直線l化為:y=k(x-2),直線l經(jīng)過定點(diǎn)(2,0),舍去.
因此直線l經(jīng)過定點(diǎn):270

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、圓的性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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