分析 (I)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2a2+y22=1(a>b>0),則ca=12.過橢圓的左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線方程為:y=√3(x+c),由于此直線與圓x2+y2=2a2相切,可得√3c2=\frac{a},與a2=b2+c2,聯(lián)立解出即可得出.
(II)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).與橢圓方程聯(lián)立化為:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,△>0,由于以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓C的右頂點(diǎn)A(2,0),可得→AM•→AN=(1+k2)x1x2+(mk-2)(x1+x2)+m2+4=0,把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得m,k的關(guān)系式,進(jìn)而得出答案.
解答 解:(I)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2a2+y22=1(a>b>0),則ca=12.
F(-c,0),∴過橢圓的左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線方程為:y=√3(x+c),
由于此直線與圓x2+y2=2a2相切,∴√3c2=\frac{a},
又a2=b2+c2,聯(lián)立解得:a=2,c=1,b=√3.
∴橢圓C的方程為x24+y23=1.
(II)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).
聯(lián)立{y=kx+mx24+y23=1,化為:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
△=64k2m2-16(3+4k2)(m2-3)>0,化為:3+4k2>m2.(*)
∴x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2−123+4k2,
∵以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓C的右頂點(diǎn)A(2,0),
∴→AM•→AN=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(x1-2)(x2-2)+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+(mk-2)(x1+x2)+m2+4=0,
∴(1+k2)(4m2−12)3+4k2+(mk−2)(−8km)3+4k2+m2+4=0,
化為:7m2+16km+4k2=0,
∴7m+2k=0,或m+2k=0.
都滿足(*).
當(dāng)7m+2k=0時(shí),直線l化為:y=k(x-27),直線l經(jīng)過定點(diǎn)(27,0).
當(dāng)7m+2k=0時(shí),直線l化為:y=k(x-2),直線l經(jīng)過定點(diǎn)(2,0),舍去.
因此直線l經(jīng)過定點(diǎn):(27,0).
點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、圓的性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | (1,0)和(0,1) | B. | (1,0)和(0,-1) | C. | (-1,0)和(0,-1) | D. | (-1,0)和(0,1) |
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A. | 254 | B. | 52 | C. | √5 | D. | 5 |
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