Question

以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程為

x=1+tcosα y=tsinα

 （t為參數(shù)，0＜α＜π），曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點，當α變化時，求|AB|的最小值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可化為直角坐標方程；
（2）將直線l的參數(shù)方程代入y²=4x，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式及參數(shù)的幾何意義即可得出．

解答： 解：（I）由ρsin²θ=4cosθ，得（ρsinθ）²=4ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標方程為y²=4x． 
（II）將直線l的參數(shù)方程代入y²=4x，得t²sin²α-4tcosα-4=0．
設(shè)A、B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，
則t₁+t₂=

4cosα

sin2α

，t₁t₂=-

4

sin2α

，
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

( 4cosα sin2α )2+ 16 sin2α

=

4

sin2α

，
當α=

π

2

時，|AB|的最小值為4．

點評：本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線與拋物線相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式及參數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．