下列命題中:①函數(shù),f(x)=sinx+
2
sinx
(x∈(0,π))的最小值是2
2
;②在△ABC中,若sin2A=sin2B,則△ABC是等腰或直角三角形;③如果正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a + b>c則
a
1+a
+
b
1+b
c
1+c
;④如果y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù),則f′(x0)=0是函數(shù)y=f(x)在x=x0處取到極值的必要不充分條件.其中正確的命題是( 。
A、①②③④B、①④
C、②③④D、②③
分析:根據(jù)基本不等式和三角函數(shù)的有界性可知真假,利用題設(shè)等式,根據(jù)和差化積公式整理求得cos(A+B)=0或sin(A-B)=0,推斷出A+B=
π
2
或A=B,則三角形形狀可判斷出.構(gòu)造函數(shù)y=
x
1+x
,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可證得結(jié)論;由函數(shù)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,我們易判斷對(duì)錯(cuò).
解答:解:①f(x)=sinx+
2
sinx
≥2
2
,當(dāng)sinx=
2
時(shí)取等號(hào),而sinx的最大值是1,故不正確;
②∵sin2A=sin2B∴sin2A-sin2B=cos(A+B)sin(A-B)=0
∴cos(A+B)=0或sin(A-B)=0∴A+B=
π
2
或A=B
∴三角形為直角三角形或等腰三角形,故正確;
③可構(gòu)造函數(shù)y=
x
1+x
,該函數(shù)在(0.+∞)上單調(diào)遞增,a+b>c則
a
1+a
+
b
1+b
c
1+c
,故正確;
④∵f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),
當(dāng)f′(x0)=0時(shí),x0可能f(x)極值點(diǎn),也可能不是f(x)極值點(diǎn),
當(dāng)x0為f(x)極值點(diǎn)時(shí),f′(x0)=0一定成立,
故f′(x0)=0是x0為f(x)極值點(diǎn)的必要不充分條件,故④正確;
故選C.
點(diǎn)評(píng):考查學(xué)生會(huì)利用基本不等式解題,注意等號(hào)成立的條件,同時(shí)考查了極值的有關(guān)問(wèn)題,屬于綜合題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列命題中:
①函數(shù)f(x)=sinx+
2
sinx
(x∈(0,π))的最小值是2
2

②在△ABC中,若sin2A=sin2B,則△ABC是等腰或直角三角形:
③如果正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b>c,則
a
1+a
+
b
1+b
c
1+c
;其中正確的命題是(  )
A、①②③B、①C、②③D、③

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列命題中:
①函數(shù)f(x)=x+
2
x
(x∈(0,1))
的最小值是2
2

②對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)且x>0時(shí),f′(x)>0,g′(x)>0,則x<0時(shí),f′(x)>g′(x);
③如果y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù),則f′(x0)=0是函數(shù)y=f(x)在x=x0處取到極值的必要不充分條件;
④已知存在實(shí)數(shù)x使得不等式|x+1|-|x-1|≤a成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥2.
其中正確的命題是
②③
②③

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列命題中:
①函數(shù)f(x)=ln(x+l)-
2
x
在區(qū)間(1,2)有零點(diǎn);
③己知當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),幕函數(shù)y=(m2-m-1)•x-5m-3為減函數(shù),則實(shí)數(shù)m=2;
③若|a|=2|b|≠0,函數(shù)f(x)=
1
3
x3+
1
2
|a|x2+a•b在R上有極值,則向量a.與b的夾角范圍為[
π
3
,π]
;
④已知函數(shù)f(x)=lg(x2-2x+a)的值域是R,則a>1.
其中正確命題的序號(hào)為
①②
①②

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013屆江西省高二下學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

下列命題中:①函數(shù)的最小值是;②對(duì)于任意實(shí)數(shù),有時(shí),, ,則時(shí),;③如果是可導(dǎo)函數(shù),則是函數(shù)處取到極值的必要不充分條件;④已知存在實(shí)數(shù)使得不等式成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是。其中正確的命題是___________.

 

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