Question

（05年山東卷）(12分)

如圖，已知長(zhǎng)方體直線(xiàn)與平面所成的角為，垂直于，為的中點(diǎn).

（I）求異面直線(xiàn)與所成的角；

（II）求平面與平面所成的二面角；

（III）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

解析：解法一：在長(zhǎng)方體中，以所在的直線(xiàn)為軸，以所在的直線(xiàn)為軸，所在的直線(xiàn)為軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系

由已知可得，

又平面，從而與平面所成的角為，又，，從而易得

（I）                   因?yàn)?IMG height=53 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090419/20090419113805020.gif' width=208>

所以=

易知異面直線(xiàn)所成的角為

（II）易知平面的一個(gè)法向量設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由

即

∴

即平面與平面所成的二面角的大�。ㄤJ角）為

（III）點(diǎn)到平面的距離，即在平面的法向量上的投影的絕對(duì)值，

∴距離=所以點(diǎn)到平面的距離為

解法二：(I)連結(jié)B₁D₁，過(guò)F作B₁D₁的垂線(xiàn)，垂足為K

∵BB₁與兩底面ABCD，A₁B₁C₁D₁都垂直

∴

又

因此FK∥AE

∴∠BFK為異面直線(xiàn)BF與AE所成的角

連結(jié)BK，由FK⊥面BDD₁B₁得FK⊥BK

從而△BKF為Rt△

 

在Rt△B₁KF和Rt△B₁D₁中，由得

    又BF=

∴∠BFK=

∴異面直線(xiàn)所成的角為

(II)由于DA⊥面AA₁B，由A作BF的垂線(xiàn)AG，垂足為G，連結(jié)DG，由三垂線(xiàn)定理知BG⊥DG

∴∠AGD即為平面BDF與平面AA₁B所成二面角的平面角。且∠DAG=90°

在平面AA₁B中，延長(zhǎng)BF與AA₁交于點(diǎn)S

∵F為A₁B₁的中點(diǎn)，A₁F

∴A₁、F分別為SA、SB的中點(diǎn)，即SA=2A₁A=2=AB

∴Rt△BAS為等腰三角形，垂足G點(diǎn)實(shí)為斜邊SB的中點(diǎn)F，即G、F重合。

易得AG=AF=SB=

在Rt△BAS中，AD=

∴∠AGD=

即平面BDF與平面AA₁B所成二面角(銳角)的大小為。

(III)由(II)知平面AFD是平面BDF與平面AA₁B所成二面角的平面角所成的平面。

∴面AFD⊥平面BDF

在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，則AH即為點(diǎn)A到平面BDF的距離

由AH?DF=AD?得

AH=

所以點(diǎn)到平面的距離為