Question

（2013•資陽二模）若拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，其圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，且經(jīng)過點(diǎn)M（1，2）．
（Ⅰ）若一個(gè)等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在該拋物線上，求該等邊三角形的邊長；
（Ⅱ）過點(diǎn)M作拋物線C的兩條弦MA，MB，設(shè)MA，MB所在直線的斜率分別為K₁K₂，當(dāng)K₁K₂變化且滿足K₁+K₂=-1時(shí)，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出拋物線方程，由拋物線過定點(diǎn)求出拋物線的方程，設(shè)出等邊三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由拋物線及等邊三角形的對(duì)稱性即可求解等邊三角形的邊長；
（Ⅱ）設(shè)出MA和MB所在的直線方程，設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，分別把直線和拋物線聯(lián)立后求得A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式寫出直線AB的方程，把A、B的坐標(biāo)代入后整理，利用相交線系方程的知識(shí)可求出直線AB恒過的定點(diǎn)．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)拋物線C的方程為y²=ax（a≠0），點(diǎn)M（1，2）的坐標(biāo)代入該方程，得
a=4，故拋物線C的方程為y²=4x．
設(shè)這個(gè)等邊三角形OEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)在拋物線上，且坐標(biāo)為（x_E，y_E），（x_F，y_F）．
則yE2=4xE，yF2=4xF，又|OE|=|OF|，
∴xE2+yE2=xF2+yF2，即xE2-xF2+4xE-4xF=0，
∴（x_E-x_F）（x_E+x_F+4）=0，因x_E＞0，x_F＞0，
∴x_E=x_F，即線段EF關(guān)于x軸對(duì)稱．
則∠EOx=30°，所以

yE

xE

=tan30°=

3

3

，
即xE=

3

yE，代入yE2=4xE，得yE=4

3

，
故等邊三角形的邊長為8

3

；
（Ⅱ）直線AB恒過定點(diǎn)（5，-6）．
事實(shí)上，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則直線MA方程y=k₁（x-1）+2，
MB方程y=k₂（x-1）+2，
聯(lián)立直線MA方程與拋物線方程，得

y=k1(x-1)+2 y2=4x

，消去x，
得k1y2-4y+8-4k1=0，
∴y1=

4

k1

-2 ①
同理y2=

4

k2

-2 ②
而AB直線方程為y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，消去x₁，x₂，得y-y1=

y2-y1

y22 4 - y12 4

(x-

y12

4

)，
化簡得即y=

4

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

 ③
由①、②，得y₁+y₂=4•

k1+k2

k1k2

-4=

-4

k1k2

-4，y1y2=4[

4

k1k2

-

2(k1+k2)

k1k2

+1]=4(

6

k1k2

+1)，
代入③，整理得k₁k₂（x+y+1）+6+y=0．
由

x+y+1=0 y+6=0

，得

x=5 y=-6

，故直線AB經(jīng)過定點(diǎn)（5，-6）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的幾何性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系代入運(yùn)算，這是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是難題．