Question

4．已知F是橢圓C的右焦點，B是橢圓C上的一個點，線段BF的延長線交C于點D，與x軸正方向的夾角為135°且$\overrightarrow{BF}$=3$\overrightarrow{FD}$，則橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{14-2\sqrt{17}}}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．直線BD的方程為：y=-（x-c），與橢圓方程聯(lián)立化為：（a²+b²）x²-2ca²x+a²c²-a²b²=0，由$\overrightarrow{BF}$=3$\overrightarrow{FD}$，可得c-x₁=3（x₂-c）．與根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)立即可得出．

解答 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
直線BD的方程為：y=-（x-c），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（a²+b²）x²-2ca²x+a²c²-a²b²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2c{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∵$\overrightarrow{BF}$=3$\overrightarrow{FD}$，∴c-x₁=3（x₂-c）．
可得：4e⁴-7e²+2=0，
解得e=$\frac{\sqrt{14-2\sqrt{17}}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{14-2\sqrt{17}}}{4}$．

點評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．