【題目】證明：存在無(wú)數(shù)個(gè)滿足如下條件的整數(shù)組(a,b,c,d)：

（1）a>c>0，(a,c)=1；

（2）對(duì)任意給定的正整數(shù)k，恰有k個(gè)正整數(shù)n，使得(an+b)|(cn+d)。

【答案】見解析

【解析】

當(dāng)k=1時(shí)，，顯然，a>c>0，(a,c)=1.

當(dāng)n≥2時(shí)，an+b>(a-1)n+b+1>0.

而當(dāng)n=1時(shí)，(an+b)|[(a-1)n+b+1].

故這樣的整數(shù)組(a,b,c,d)有無(wú)數(shù)個(gè).

當(dāng)k≥2時(shí)，令a=2，b=1，c=1，，其中，p為任一奇素?cái)?shù)，滿足條件(1).

若，設(shè)

則.

易知，.

因?yàn)閚為正整數(shù)，所以，.

故恰有k個(gè)解恰有k個(gè)解.

滿足條件(2).

又這樣的奇素?cái)?shù)p有無(wú)限個(gè)，則(a,b,c,d)有無(wú)數(shù)組.

綜上，原問題得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】大型綜藝節(jié)目《最強(qiáng)大腦》中，有一個(gè)游戲叫做盲擰魔方，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方，盲擰在外人看來(lái)很神奇，其實(shí)原理是十分簡(jiǎn)單的，要學(xué)會(huì)盲擰也是很容易的.為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了名魔方愛好者進(jìn)行調(diào)查，得到的情況如表所示：

用時(shí)（秒）

男性人數(shù)

15

22

14

9

女性人數(shù)

5

11

17

7

附：，.

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

（1）將用時(shí)低于秒的稱為“熟練盲擰者”，不低于秒的稱為“非熟練盲擰者”.請(qǐng)根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為是否為“熟練盲擰者”與性別有關(guān)？

熟練盲擰者

非熟練盲擰者

男性

女性

（2）以這名盲擰魔方愛好者的用時(shí)不超過(guò)秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者的用時(shí)不超過(guò)秒的概率，每位盲擰魔方愛好者用時(shí)是否超過(guò)秒相互獨(dú)立.那么在該興趣小組在全市范圍內(nèi)再次隨機(jī)抽取名愛好者進(jìn)行測(cè)試，其中用時(shí)不超過(guò)秒的人數(shù)最有可能（即概率最大）是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】橢圓，是橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn).

（1）證明：直線，與直線，斜率之積為定值.

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)且斜率不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四面體中，E是線段的中點(diǎn)，，，.

（1）證明：；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司準(zhǔn)備上市一款新型轎車零配件，上市之前擬在其一個(gè)下屬4S店進(jìn)行連續(xù)30天的試銷.定價(jià)為1000元/件.試銷結(jié)束后統(tǒng)計(jì)得到該4S店這30天內(nèi)的日銷售量（單位：件）的數(shù)據(jù)如下表：

日銷售量

40

60

80

100

頻數(shù)

9

12

6

3

（1）若該4S店試銷期間每個(gè)零件的進(jìn)價(jià)為650元/件，求試銷連續(xù)30天中該零件日銷售總利潤(rùn)不低于24500元的頻率；

（2）試銷結(jié)束后，這款零件正式上市，每個(gè)定價(jià)仍為1000元，但生產(chǎn)公司對(duì)該款零件不零售，只提供零件的整箱批發(fā)，大箱每箱有60件，批發(fā)價(jià)為550元/件；小箱每箱有45件，批發(fā)價(jià)為600元/件.該4S店決定每天批發(fā)兩箱，根據(jù)公司規(guī)定，當(dāng)天沒銷售出的零件按批發(fā)價(jià)的9折轉(zhuǎn)給該公司的另一下屬4S店.假設(shè)該4店試銷后的連續(xù)30天的日銷售量（單位：件）的數(shù)據(jù)如下表：

日銷售量

50

70

90

110

頻數(shù)

5

15

8

2

（ⅰ）設(shè)該4S店試銷結(jié)束后連續(xù)30天每天批發(fā)兩大箱，這30天這款零件的總利潤(rùn)；

（ⅱ）以總利潤(rùn)作為決策依據(jù)，該4S店試銷結(jié)束后連續(xù)30天每天應(yīng)該批發(fā)兩大箱還是兩小箱？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】黑板上寫有1，2，…，2014這2014個(gè)正整數(shù).現(xiàn)進(jìn)行如下操作：第一步劃去最前面的兩個(gè)數(shù)l、2，并在2014后面寫上這兩數(shù)的和3；第二步劃去最前面的三個(gè)數(shù)3、4、5，并在最后面寫上這三數(shù)的和12；如此繼續(xù)下去.當(dāng)?shù)凇瓴綍r(shí)，黑板上的數(shù)不夠個(gè)，停止操作.求在黑板上出現(xiàn)過(guò)的不同數(shù)的個(gè)數(shù)及這些不同數(shù)的和（若一個(gè)數(shù)多次出現(xiàn)，只計(jì)算一次）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2020年寒假是特殊的寒假，因?yàn)榭箵粢咔槿w學(xué)生只能在家進(jìn)行網(wǎng)上在線學(xué)習(xí)，為了研究學(xué)生在網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況，某學(xué)校在網(wǎng)上隨機(jī)抽取120名學(xué)生對(duì)線上教育進(jìn)行調(diào)查，其中男生與女生的人數(shù)之比為11∶13，其中男生30人對(duì)于線上教育滿意，女生中有15名表示對(duì)線上教育不滿意.

（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有99%的把握認(rèn)為對(duì)“線上教育是否滿意與性別有關(guān)”；

滿意

不滿意

總計(jì)

男生

30

女生

15

合計(jì)

120

（2）從被調(diào)查的對(duì)線上教育滿意的學(xué)生中，利用分層抽樣抽取8名學(xué)生，再在8名學(xué)生中抽取3名學(xué)生，作線上學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)介紹，其中抽取男生的個(gè)數(shù)為，求出的分布列及期望值.

參考公式：附：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

0.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著食品安全問題逐漸引起人們的重視，有機(jī)、健康的高端綠色蔬菜越來(lái)越受到消費(fèi)者的歡迎，同時(shí)生產(chǎn)—運(yùn)輸—銷售一體化的直銷供應(yīng)模式,不僅減少了成本，而且減去了蔬菜的二次污染等問題.

（1）在有機(jī)蔬菜的種植過(guò)程中，有機(jī)肥料使用是必不可少的.根據(jù)統(tǒng)計(jì)某種有機(jī)蔬菜的產(chǎn)量與有機(jī)肥料的用量有關(guān)系，每個(gè)有機(jī)蔬菜大棚產(chǎn)量的增加量（百斤）與使用堆漚肥料（千克）之間對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表

使用堆漚肥料（千克）

2

4

5

6

8

產(chǎn)量的增加量（百斤）

3

4

4

4

5

依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；并根據(jù)所求線性回歸方程，估計(jì)如果每個(gè)有機(jī)蔬菜大棚使用堆漚肥料10千克，則每個(gè)有機(jī)蔬菜大棚產(chǎn)量增加量是多少百斤?

（2）某大棚蔬菜種植基地將采摘的有機(jī)蔬菜以每份三斤稱重并保鮮分裝,以每份10元的價(jià)格銷售到生鮮超市.“樂購(gòu)”生鮮超市以每份15元的價(jià)格賣給顧客，如果當(dāng)天前8小時(shí)賣不完，則超市通過(guò)促銷以每份5元的價(jià)格賣給顧客（根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)天能夠把剩余的有機(jī)蔬菜都低價(jià)處理完畢，且處理完畢后，當(dāng)天不再進(jìn)貨）.該生鮮超市統(tǒng)計(jì)了100天有機(jī)蔬菜在每天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量（單位:份），制成如下表格(注:，且)；

前8小時(shí)內(nèi)的銷售量（單位:份）

15

16

17

18

19

20

21

頻數(shù)

10

x

16

6

15

13

y

若以100天記錄的頻率作為每日前8小時(shí)銷售量發(fā)生的概率，該生鮮超市當(dāng)天銷售有機(jī)蔬菜利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，當(dāng)購(gòu)進(jìn)17份比購(gòu)進(jìn)18份的利潤(rùn)的期望值大時(shí)，求的取值范圍.

附：回歸直線方程為，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】高二某班共有45人，學(xué)號(hào)依次為1、2、3、…、45，現(xiàn)按學(xué)號(hào)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個(gè)容量為5的樣本，已知學(xué)號(hào)為6、24、33的同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有兩個(gè)同學(xué)的學(xué)號(hào)應(yīng)為（ ）

A.B.C.D.

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同步練習(xí)冊(cè)答案