Question

如圖，P為某湖中觀光島嶼，AB是沿湖岸南北方向道路，Q為停車場(chǎng)，PQ=

26

5

km．某旅游團(tuán)游覽完島嶼后，乘游船回停車場(chǎng)Q．已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行駛，sinθ=

5

13

，游船離開觀光島嶼3分鐘后，因事耽誤沒有來(lái)得及登上游船的游客甲為了及時(shí)趕到停車地點(diǎn)Q與旅游團(tuán)會(huì)合，立即決定租用小船先到達(dá)湖岸南北大道M處，然后乘出租車到停車場(chǎng)Q處（設(shè)游客甲到達(dá)湖濱大道后能立即乘到出租車）．假設(shè)游客甲乘小船行駛的方位角是α，出租車的速度為66km/h．
（Ⅰ）設(shè)sinα=

4

5

，問小船的速度為多少km/h，游客甲才能和游船同時(shí)到達(dá)點(diǎn)Q；
（Ⅱ）設(shè)小船速度為10km/h，請(qǐng)你替該游客設(shè)計(jì)小船行駛的方位角α，當(dāng)角α余弦值的大小是多少時(shí)，游客甲能按計(jì)劃以最短時(shí)間到達(dá)Q．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（I）作PN⊥AB，N為垂足，由sinθ=

5

13

，sinα=

4

5

，解Rt△PNQ和Rt△PNM，得到PQ和PM及MQ的長(zhǎng)，構(gòu)造方程可得滿足條件的船速
（II）當(dāng)小船行駛的方位角為α?xí)r，解三角形分別求出PM，MQ長(zhǎng)，進(jìn)而求出時(shí)間t的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)的最小值，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ） 如圖，作PN⊥AB，N為垂足．
sinθ=

5

13

，sinα=

4

5

，
在Rt△PNQ中，PN=PQsinθ=5.2×

5

13

=2（km），
QN=PQcosθ=5.2×

12

13

=4.8（km）．
在Rt△PNM中，MN=

PN

tanα

=1.5（km）．
設(shè)游船從P到Q所用時(shí)間為t₁h，游客甲從P經(jīng)M到Q所用時(shí)間為t₂h，
小船的速度為v₁km/h，則t₁=

PQ

13

=0.4（h），t₂=

PM

v1

+

MQ

66

=

5

2v1

+

1

20

（h）．  
由已知得：t₂+

1

20

=\t₁，

5

2v1

+

1

20

+

1

20

=0.4，
∴v₁=

25

3

．
∴小船的速度為

25

3

km/h時(shí)，游客甲才能和游船同時(shí)到達(dá)Q．
（Ⅱ）在Rt△PMN中，PM=

PN

sinα

=

2

sinα

（km），MN=

2cosα

sinα

（km）．
∴QM=QN-MN=4.8-

2cosα

sinα

（km）．               
∴t=

PM

10

+

QM

66

=

1

165

×

33-5cosα

sinα

+

4

55

．
∵t′=

5-33cosα

165sin2α

，
∴令t'=0得：cosα=

5

33

．
當(dāng)cosα＜

5

33

時(shí)，t'＞0；當(dāng)cosα＞

5

33

時(shí)，t'＜0．
∵cosα在α∈（0，

π

2

）上是減函數(shù)，
∴當(dāng)方位角α滿足cosα=

5

33

時(shí)，t最小，
即游客甲能按計(jì)劃以最短時(shí)間到達(dá)Q．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，根據(jù)已知構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)是解答本題的關(guān)鍵．