Question

1．命題P：函數(shù)f（x）=x²-2ax+2在區(qū)間[0，1]上有且只有一個零點；命題Q：y=a^x（a＞0，a≠1）是R上的增函數(shù)，
（1）若f（1）=0，求a的值；
（2）若“P或Q”為真，“P且Q”為假，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=0，可得1-2a+2=0，解得a即可．
（2）命題P：由f（0）=2＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上有且只有一個零點．a(chǎn)≤0時，f（x）=x²+2＞0，因此此時函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上無零點；因此$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{f（1）≤0}\end{array}\right.$，解出即可得出．命題Q：y=a^x（a＞0，a≠1）是R上的增函數(shù)，可得a＞1．由于“P或Q”為真，“P且Q”為假，P與Q必然一真一假．

解答 解：（1）∵f（1）=0，∴1-2a+2=0，解得a=$\frac{3}{2}$．
（2）命題P：∵f（0）=2＞0，函數(shù)f（x）=x²-2ax+2（x-a）²+2-a²在區(qū)間[0，1]上有且只有一個零點，
a=0時，f（x）=x²+2＞0，因此此時函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上無零點；
a＜0時，可知：函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上無零點．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{f（1）≤0}\end{array}\right.$，
解得a$≥\frac{3}{2}$．
命題Q：y=a^x（a＞0，a≠1）是R上的增函數(shù)，∴a＞1．
∵“P或Q”為真，“P且Q”為假，
∴P與Q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{3}{2}}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{3}{2}}\\{a＞1}\end{array}\right.$，
解得$1＜a＜\frac{3}{2}$．
∴a的取值范圍是$1＜a＜\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．