Question

12．已知正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，M為AC上一點，N為BF 上一點，且AM=FN．
（1）求證：MN∥平面CBE；
（2）求證：MN⊥AB．

Answer 1

分析 （1）先由 $\frac{MG}{AB}$=$\frac{MC}{NC}$=$\frac{NB}{EF}$得到MG∥NH且MG=NG，得出MNHG為平行四邊形，從而求證MN∥GH，由線面平行的判定定理證得MN∥面BEC；
（2）由AB⊥BC，AB⊥BE，結(jié)合線面垂直的判定定理證出AB⊥面BEC，從而有AB⊥GH，再由垂直于平行線中的一條，則垂直于另一條，得到MN⊥AB．

解答 證明：（1）如圖示：
÷
在平面ABC中，作MG∥AB，在平面BFE中，作NH∥EF，
連接GH，∵AM=FN∴MC=NB，
∵$\frac{MG}{AB}$=$\frac{MC}{NC}$=$\frac{NB}{EF}$，∴MG∥NH且MG=NG，
∴MNHG為平行四邊形，∴MN∥GH，
又∵GH⊆面BEC，MN_≠^?面BEC，
∴MN∥面BEC；
（2）∵AB⊥BC，AB⊥BE，
∴AB⊥面BEC，
∵GH⊆面GEC，
∴AB⊥GH，
∵M(jìn)N∥GH，
∴MN⊥AB．

點評 本題主要通過平面圖形中的相似性轉(zhuǎn)化線線平行，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線面平行來考查線面平行的判定定理，以及線面垂直的判定和培養(yǎng)學(xué)生平面和空間的轉(zhuǎn)化及建模能力．