Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點在原點，焦點F的坐標為（1，0）．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）設(shè)M，N是拋物線C的準線上的兩個動點，且它們的縱坐標之積為-4，直線MO，NO與拋物線的交點分別為點A、B，求證：動直線AB恒過一個定點．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出拋物線的標準方程，根據(jù)焦點坐標求出p的值，代入可得到答案．
（2）先求出準線方程，設(shè)出兩個動點的坐標設(shè)M（-1，y₁），N（-1，y₂），其中y₁y₂=-4，然后將y=-y₁x、y=-y₂x與y²=4x聯(lián)立方程求出A，B的坐標，進而得到直線AB的方程整理后可以得到（y₁+y₂）y-4x+4=0，可求定點坐標．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的標準方程為y²=2px（p＞0），則

p

2

=1，p=2
所以拋物線C的標準方程為y²=4x
（2）拋物線C的準線方程為x=-1，設(shè)M（-1，y₁），N（-1，y₂），其中y₁y₂=-4
則直線MO的方程為：y=-y₁x
將y=-y₁x與y²=4x聯(lián)立方程，解得A點的坐標為（

4

y 2 1

，-

4

y1

）
同理可得B點的坐標為（

4

y 2 2

，-

4

y2

）
則直線AB的方程為：

y+ 4 y1

- 4 y1 + 4 y2

=

x- 4 y 2 1

4 y 2 1 -  4 y 2 2

整理，得（y₁+y₂）y-4x+4=0
由

y=0 -4x+4=0

解得

x=1 y=0

故動直線AB恒過一個定點（1，0）．

點評：本題主要考查拋物線的標準方程、直線與拋物線的聯(lián)立問題．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的必考題，常以壓軸的題目出現(xiàn)．