Question

若雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一條漸近線與拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的一個交點在x軸上的射影在拋物線C₂的焦點的右側，則雙曲線C₁的離心率的取值范圍是

（1，

5

）

．

Answer 1

分析：先求雙曲線漸近線與拋物線的交點橫坐標，再利用已知交點在x軸上的射影在拋物線C₂的焦點的右側，得關于a、b的不等式，進而變換求出離心率的取值范圍

解答：解：取雙曲線C₁的一條漸近線方程y=

b

a

x，代入拋物線y²=2px得：

b2

a2

×x2=2px，
解得x=0，或x=

2pa2

b2

∵交點在x軸上的射影在拋物線C₂的焦點（

p

2

，0）的右側
∴

2pa2

b2

＞

p

2

∴b²＜4a²，即c²-a²＜4a²
∴e²＜5，e＜

5

故其離心率e∈（1，

5

）
故答案為（1，

5

）

點評：本題考查了雙曲線的標準方程及其幾何性質，拋物線的標準方程及其幾何性質，雙曲線離心率的取值范圍的求法