Question

已知雙曲線C：2x²-y²=2與點(diǎn)P（1，2）.

（1）求過(guò)點(diǎn)P（1，2）的直線l的斜率k的取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn).

（2）是否存在過(guò)P點(diǎn)的弦AB，使AB中點(diǎn)為P？

（3）若Q（1，1），試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在？

Answer 1

解：（1）設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-1)，代入C的方程，并整理得（2-k²）x²+2(k²-2k)x-k²+4k-6=0,（*）

當(dāng)k=±時(shí)，方程組有唯一解.

當(dāng)k≠±時(shí)，由Δ=0，得k=.

所以當(dāng)k=±或k=或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn).

如圖，當(dāng)＜k＜或k＜-或-＜k＜時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)k＞時(shí)，l與C無(wú)交點(diǎn).

（2）假設(shè)以P為中點(diǎn)的弦AB存在，

設(shè)A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),

則x₁、x₂是方程（*）的兩個(gè)根，

由韋達(dá)定理得=1,

解得k=1.

所以這樣的弦存在，方程為y=x+1.

(3)假設(shè)弦AB以Q為中點(diǎn)，且A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),

所以2x₁²-y₁²=2,2x₂²-y₂²=2.

兩式相減，得2(x₁+x₂)(x₁-x₂)=(y₁+y₂)(y₁-y₂),

所以2(x₁-x₂)=y₁-y₂.

所以AB的斜率為2，但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與C無(wú)交點(diǎn).

所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在.