Question

20．如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，∠BCD=120°，則四邊形ABCD的面積的最大值是3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意和三角形的面積公式易得S_△ABD，設∠CBD=θ，在三角形BCD中由正弦定理可得DC=4sinθ，BC=4sin（60°-θ），可得四邊形ABCD的面積S=2$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$sinθsin（60°-θ），化簡由三角函數的最值可得．

解答 解：在三角形ABD中，由余弦定理可得BD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}-2×2×4×\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$•AD•AB•sin60°=2$\sqrt{3}$，設∠CBD=θ，
在三角形BCD中由正弦定理可得$\frac{DC}{sinθ}$=$\frac{BC}{sin（60°-θ）}$=$\frac{BD}{sin120°}$=4，
變形可得DC=4sinθ，BC=4sin（60°-θ），
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$•DC•BC•sin∠BCD=4$\sqrt{3}$sinθsin（60°-θ），
∴四邊形ABCD的面積S=2$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$sinθsin（60°-θ）
=2$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$sinθ（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ）
=2$\sqrt{3}$+（6sinθcosθ-2$\sqrt{3}$sin²θ）
=2$\sqrt{3}$+（3sin2θ-$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$cos2θ）
=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2θ+$\frac{1}{2}$cos2θ）
=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin（2θ+30°）
又0°＜θ＜60°，∴當且僅當θ=30°時，S取最大值3$\sqrt{3}$

點評 本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面積公式和三角函數的最值，屬中檔題．