Question

11．已知點A（-2，0），圓C：x²-4x+y²-4y+4=0，過點A的直線l與圓C相交于兩個不同的點P，Q，線段PQ的中點為M，O為坐標原點．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）求|OM|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，CM⊥AQ，可得點M的軌跡是以AC為直徑的圓，即可求點M的軌跡方程；
（2）利用圓的參數(shù)方程，即可求|OM|的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，CM⊥AQ，
∴點M的軌跡是以AC為直徑的圓（圓內部分及交點），
∵A（-2，0），C（2，2），
∴|AC|=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$，AC的中點坐標為（0，1），
∴點M的軌跡方程是x²+（y-1）²=5（$\frac{2}{5}$＜x＜2）；
（2）由（1）x=$\frac{2}{5}$，y=$\frac{16}{5}$，|OM|=$\frac{2\sqrt{65}}{5}$，x=2，y=0，|OM|=2，
∴|OM|的取值范圍是（$\frac{2\sqrt{65}}{5}$，2）．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關系，考查參數(shù)方法的運用，確定M的軌跡方程是關鍵．