Question

（2013•威海二模）在一只黑色的布袋中裝有4個(gè)大小、顏色、質(zhì)地完全相同的小球，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，現(xiàn)在從布袋中隨機(jī)摸取2個(gè)小球，每次摸取一個(gè)，不放回，其標(biāo)號(hào)依次記為x，y，設(shè)ξ=sin

y

x

π．
（Ⅰ）若ξ的取值組成集合A，求集合A；
（Ⅱ）求使關(guān)于x的方程x²-3ξx+1=0有實(shí)數(shù)根的概率．

Answer 1

分析：（I）列舉出從布袋中隨機(jī)摸取2個(gè)小球，每次摸取一個(gè)，不放回，其標(biāo)號(hào)依次記為x，y的所有情況，進(jìn)而求出各種情況下ξ的取值情況，進(jìn)而由集合元素的互異性，去年重復(fù)元素，可得集合A
（II）若關(guān)于x的方程x²-3ξx+1=0有實(shí)數(shù)根，則△=（3ξ）²-4≥0，結(jié)合（I）中結(jié)論，可得方程有根對(duì)應(yīng)的基本事件個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到使關(guān)于x的方程x²-3ξx+1=0有實(shí)數(shù)根的概率

解答：解：（Ⅰ）設(shè)取出的2個(gè)小球的標(biāo)號(hào)對(duì)應(yīng)數(shù)對(duì)（x，y），則（x，y）的所有情況為：
（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12種，----（2分）
當(dāng)x=1時(shí)，ξ=sin

y

x

π的值為0，0，0；-----------------（3分）
當(dāng)x=2時(shí)，ξ=sin

y

x

π的值為1，-1，0；-----------------（4分）
當(dāng)x=3時(shí)，ξ=sin

y

x

π的值為

3

2

，

3

2

，-

3

2

；-----------------（5分）
當(dāng)x=4時(shí)，ξ=sin

y

x

π的值為

2

2

，1，

2

2

，-----------------（6分）
所以集合A={0，1，-1，

2

2

，

3

2

，-

3

2

}-----------------（7分）
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程x²-3ξx+1=0有實(shí)數(shù)根，
則有△=（3ξ）²-4≥0，
∴ξ≥

2

3

或ξ≤-

2

3

-----------------（8分）
由（Ⅰ）知，ξ=±1，±

3

2

，

2

2

-----------------（9分）
其中ξ=±1有3種情況，ξ=±

3

2

有3種情況，ξ=

2

2

有兩種情況----------------（10分）
所以P(△≥0)=P(ξ=±1)+P(ξ=±

3

2

)+P(ξ=

2

2

)=

3

12

+

3

12

+

2

12

=

2

3

．
∴關(guān)于x的方程x²-3ξx+1=0有實(shí)數(shù)根的概率為

2

3

．----------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是古典概型及其概率計(jì)算公式，列舉法求概率，熟練掌握古典概型及其概率計(jì)算方法和步驟是解答的關(guān)鍵．