Question

2．已知函數(shù)f（x）=a+xln（x+1）（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在x=0處的切線方程；
（2）已知x₁∈（-1，0），x₂∈（0，+∞），且x₁，x₂是函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{x}$的兩個(gè)極值點(diǎn)，試證明：?m∈（-1，0），n∈（0，+∞），都有F（m）＜F（n）

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，即可求曲線y=f（x）在x=0處的切線方程；
（2）求出a＞0，在（-1，x₁），（x₂，+∞），函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{x}$單調(diào)遞減，（x₁，x₂），函數(shù)單調(diào)遞增，x₁是函數(shù)的極小值點(diǎn)，x₂是函數(shù)的極大值點(diǎn)，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=1+xln（x+1），
∴f′（x）=ln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$，
∴f′（0）=1，
∵f（0）=1，
∴曲線y=f（x）在x=0處的切線方程y-1=x，即x-y+1=0；
（2）證明：∵F（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{a}{x}$+ln（x+1），
∴F′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x+1}$=0，
∴x²-ax-a=0，
∵x₁∈（-1，0），x₂∈（0，+∞），且x₁，x₂是函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{x}$的兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴a＞0，
∴在（-1，x₁），（x₂，+∞），函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{x}$單調(diào)遞減，（x₁，x₂），函數(shù)單調(diào)遞增，
∴x₁是函數(shù)的極小值點(diǎn)，x₂是函數(shù)的極大值點(diǎn)，
∵m∈（-1，0），n∈（0，+∞），
∴都有F（m）＜F（n）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．