Question

14．定義方程f（x）=f′（x）的實(shí)數(shù)根x₀叫做函數(shù)f（x）的“新零點(diǎn)”，若函數(shù)g（x）=x，h（x）=2lnx，ϕ（x）=x³-1的“新零點(diǎn)”分別為α，β，γ，則α，β，γ的大小關(guān)系為γ＞β＞α．

Answer 1

分析 分別對g（x），h（x），ϕ（x）求導(dǎo)，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），ϕ′（x）=ϕ（x），則它們的根分別為α，β，γ，然后分別討論α，β，γ的取值范圍即可．

解答 解：∵g′（x）=1，h′（x）=$\frac{2}{x}$，ϕ′（x）=3x²，
由g（x）=g′（x）得x=1，即
α=1，
由h（x）=h′（x），
得2lnx=$\frac{2}{x}$，即lnx-$\frac{1}{x}$=0，
設(shè)m（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，在（0，+∞）上函數(shù)m（x）為增函數(shù)，
∵m（1）=0-1＜0，m（2）=ln2-$\frac{1}{2}$＞0，
∴1＜β＜2；
由ϕ（x）=ϕ′（x）得
x³-1=3x²，
即x³-3x²-1=0，
設(shè)q（x）=x³-3x²-1，
則q′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
由q′（x）＞0得x＞2或x＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由q′（x）＜0得0＜x＜2，此時函數(shù)單調(diào)遞遞減，
當(dāng)x=0時，函數(shù)取得極大值q（0）=-1＜0，
∵q（3）=3³-3×3²-1=-1＜0，
∴函數(shù)q（x）=x³-3x²-1的零點(diǎn)γ＞3，
∴γ＞β＞α．
故答案為 γ＞β＞α

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的大小比較，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，建立方程關(guān)系，分別判斷論α，β，γ的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．