Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．
（Ⅰ）若

3

acosB+bsinA=

3

c，求角A；
（Ⅱ）若b=

3

a，c=2，且△ABC的面積為

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，利用誘導(dǎo)公式變形后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后求出tanA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出角A的度數(shù)；
（Ⅱ）利用三角形的面積公式表示出面積，將已知b=

3

a及已知的面積代入表示出sinC，再利用余弦定理表示出cosC，利用同角三角函數(shù)間的平方關(guān)系列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵

3

acosB+bsinA=

3

c，
由正弦定理可得：

3

sinAcosB+sinBsinA=

3

sinC=

3

sin（A+B）=

3

sinAcosB+

3

cosAsinB，
即sinBsinA=

3

cosAsinB，
∴sinA=

3

cosA，即tanA=

3

，
∴A=60°；
（Ⅱ）∵b=

3

a，△ABC的面積為

3

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

，
∴a²sinC=2，∴sinC=

2

a2

①，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
∴4a²-2

3

a²cosC=4，∴cosC=

2a2-2

3 a2

②，
由①，②得：（

2

a2

）²+（

2a2-2

3 a2

）²=1，化簡(jiǎn)得a⁴-8a²+16=0，
∴（a²-4）²=0，
∴a=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．