Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)O是BD中點(diǎn)．
（Ⅰ） 求證：平面BDD₁B₁⊥平面C₁OC；
（Ⅱ） 求二面角C₁-BD-C的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，再利用面面垂直的判定定理證明平面BDD₁B₁⊥平面C₁OC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠C₁OC是二面角C₁-BD-C的平面角，在Rt△C₁OC中，求二面角C₁-BD-C的正切值．

解答：（Ⅰ）證明：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)O是BD中點(diǎn)，
∵BC₁=DC₁，BC=DC，
∴C₁O⊥BD，CO⊥BD-------------------（2分）
∵C₁O∩CO=O，C₁O?平面C₁OC，CO?平面C₁OC，
∴BD⊥平面C₁OC------------------（5分）
∵BD?平面BDD₁B₁，∴平面BDD₁B₁⊥平面C₁OC．--------------（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠C₁OC是二面角C₁-BD-C的平面角---------------（11分）
則

C

1

C=1，OC=

2

2

∴在Rt△C₁OC中，tan∠C1OC=

C1C

OC

=

2

故二面角C₁-BD-C的正切值為

2

．---------------（14分）

點(diǎn)評：本題考查面面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是利用線面垂直的判定定理證明線面垂直．