Question

如圖，△ABC是以∠C為直角的等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為8，DE∥BC，AE：EC=5：3，沿DE將△ADE折起使得點(diǎn)A在平面BCED上的射影是點(diǎn)C，MC=

2

3

AC．
（Ⅰ）在BD上確定點(diǎn)N的位置，使得MN∥平面ADE；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求CN與平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ADE的法向量

n1

=(4，0，3)，MN∥平面ADE等價(jià)于

n1

•

MN

=0，由此可得結(jié)論；
（Ⅱ）確定

CN

=(2，6，0)，求出平面ADB的法向量，利用向量的夾角公式，可求CN與平面ABD所成角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）由已知，點(diǎn)A在平面BCED上的射影是點(diǎn)C，則AC⊥平面BCED，而BC⊥CE，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則可知各點(diǎn)的坐標(biāo)為C（0，0，0），A（0，0，4），B（0，8，0），D（3，5，0），E（3，0，0），
由MC=

2

3

AC，可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0，

8

3

），
設(shè)點(diǎn)N 的坐標(biāo)為（x，y，0），則可知y=8-x，即點(diǎn)N 的坐標(biāo)為（x，8-x，0）
設(shè)平面ADE的法向量為

n1

=(x，y，z)，
由題意可知

n1 • DE =0 n1 • AE =0

，而

DE

=(0，-5，0)，

AE

=(3，0，-4)
可得

y=0 3x-4z=0

，取x=4，則z=3，可得

n1

=(4，0，3)
MN∥平面ADE等價(jià)于

n1

•

MN

=0，即4x+0•(8-x)+3•

8

3

=0
解之可得x=2，即可知點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，6，0），點(diǎn)N為BD的三等分點(diǎn)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

CN

=(2，6，0)，
設(shè)平面ADB的法向量為

n2

=(x，y，z)，由題意可知

n1 • DB =0 n1 • AB =0

，
而

DB

=(-3，3，0)，

AB

=(0，8，-4)可得

-3x+3y=0 8y-4z=0

，取x=1，則y=1，z=2，可得

n2

=(1，1，2)
設(shè)CN與平面ABD所成角為θ，sinθ=|

n2 • CN

| n2 |•| CN |

|=

2 15

15

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查線面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．