Question

9．在各項均為正數的等比數列{a_n}中，a₁=1，a₂+a₃=6．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1，n為奇數}\\{{a}_{n}，n為偶數}\end{array}\right.$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過等比數列可知6=q+q²，進而計算可得公比，從而可得結論；
（Ⅱ）當n為偶數時，利用分組法求和可知T_n=$\frac{{n}^{2}-n}{2}$+$\frac{2}{3}$（2ⁿ-1）；當n為奇數時利用T_n+1=T_n+b_n+1計算可知T_n=T_n+1-2ⁿ=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$+$\frac{1}{3}$（2ⁿ-2）．

解答 解：（Ⅰ）依題意，a₂+a₃=6=q+q²，
解得：q=2或q=-3（舍），
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2^n-1；
（Ⅱ）依題意，當n為偶數時，T_n=[1+5+…+（2n-3）]+（2+2³+…+2^n-1）
=$\frac{n（n-1）}{2}$+$\frac{2-{2}^{n-1}×{2}^{2}}{1-{2}^{2}}$
=$\frac{{n}^{2}-n}{2}$+$\frac{2}{3}$（2ⁿ-1）；
當n為奇數時，n+1為偶數，
∵T_n+1=T_n+b_n+1=T_n+2ⁿ，
∴T_n=T_n+1-2ⁿ
=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$+$\frac{2}{3}$（2ⁿ⁺¹-1）-2ⁿ
=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$+$\frac{1}{3}$（2ⁿ-2）；
綜上所述，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}+n}{2}+\frac{{2}^{n}-2}{3}，}&{n為奇數}\\{\frac{{n}^{2}-n}{2}+\frac{2（{2}^{n}-1）}{3}，}&{n為偶數}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．